Topologia (configurarea) este o modalitate de conectare a calculatoarelor într-o rețea. Tipul de topologie determină costul, securitatea, performanța și fiabilitatea stațiilor de lucru pentru care timpul de acces la serverul de fișiere contează.

Conceptul de topologie este utilizat pe scară largă în rețele. Una dintre abordările clasificării topologiilor LAN este alocarea a două clase principale de topologii: broadcast și seriale.

În topologiile de difuzare, un PC transmite semnale care pot fi preluate de alte PC-uri. Astfel de topologii includ topologii: magistrală comună, arbore, stea.

În topologiile seriale, informațiile sunt transmise doar către un singur PC. Exemple de astfel de topologii sunt: ​​arbitrare (conexiune PC arbitrară), inel, lanț.

Atunci când alegeți topologia optimă, sunt urmărite trei obiective principale:

Furnizarea de rutare alternativă și fiabilitate maximă a transmisiei de date;

Selectarea rutei optime pentru transmiterea blocurilor de date;

Oferind timp de răspuns și debit acceptabil.

Atunci când alegeți un anumit tip de rețea, este important să luați în considerare topologia acestuia. Principalele topologii de rețea sunt: ​​topologia magistrală (linie), stea, inel și arbore.

De exemplu, o configurație de rețea ArcNet utilizează atât o topologie liniară, cât și una în stea. Rețelele Token Ring arată fizic ca o stea, dar, în mod logic, pachetele lor sunt trimise în jurul inelului. Transmisia de date într-o rețea Ethernet are loc printr-o magistrală de linie, astfel încât toate stațiile să vadă semnalul în același timp.

Tipuri de topologii

Există cinci topologii principale (Fig. 3.1): magistrală comună (Bus); inel (Inel); stea (Steaua); asemănător copacului (Tree); celular (Mesh).

Orez. 3.1. Tipuri de topologie

Autobuz comun

O magistrală partajată este un tip de topologie de rețea în care stațiile de lucru sunt situate de-a lungul unei singure secțiuni de cablu, numită segment. Topologia magistrală comună (Fig. 3.2) implică utilizarea unui singur cablu la care sunt conectate toate calculatoarele din rețea.

În cazul unei topologii de magistrală comună, cablul este utilizat de toate stațiile pe rând:

Orez. 3.2. Topologie Bus comun

1. La transmiterea pachetelor de date, fiecare computer le adresează unui anumit computer LAN, transmițându-le peste cablu de rețea sub formă de semnale electrice.

2. Pachetul sub formă de semnale electrice este transmis prin „autobuz” în ambele sensuri către toate calculatoarele din rețea.

3. Cu toate acestea, numai adresa care se potrivește cu adresa destinatarului specificată în antetul pachetului primește informații. Deoarece un singur computer poate transmite în rețea la un moment dat, performanța LAN depinde de numărul de computere conectate la magistrală. Cu cât sunt mai multe dintre ele, cu cât transferul de date este mai în așteptare, cu atât performanța rețelei este mai scăzută. Cu toate acestea, este imposibil să se indice o dependență directă a lățimii de bandă a rețelei de numărul de computere, deoarece este afectată și de:

· Caracteristicile hardware ale rețelei PC;

frecvența cu care sunt transmise mesajele PC;

tipul de aplicații de rețea care rulează;

· tipul cablului și distanța dintre computerele din rețea.

"Bus" - topologie pasivă. Aceasta înseamnă că computerele doar „ascultă” datele transmise prin rețea, dar nu le mută de la emițător la receptor. Prin urmare, dacă unul dintre computere eșuează, aceasta nu va afecta funcționarea întregii rețele.

4. Datele sub formă de semnale electrice se propagă în întreaga rețea de la un capăt la altul al cablului, iar când ajung la capătul cablului, se vor reflecta și vor ocupa „autobuzul”, care nu va permite altor calculatoare. a transmite.

5. Pentru a preveni reflectarea semnalelor electrice, la fiecare capăt al cablului sunt instalate terminatoare (T), absorbind semnalele care au trecut prin „autobuz”,

6. Dacă distanța dintre PC-uri este semnificativă (de exemplu, 180 m pentru un cablu coaxial subțire), segmentul „autobuz” poate suferi o slăbire a semnalului electric, ceea ce poate duce la distorsiunea sau pierderea pachetului de date transmis. În acest caz, segmentul original ar trebui împărțit în două, așezându-se între ele dispozitiv suplimentar- un repetor (repetitor) care amplifică semnalul primit înainte de a-l trimite mai departe.

Amplasate corect pe lungimea rețelei, repetoarele vă permit să măriți lungimea rețelei deservite și distanța dintre computerele învecinate. Trebuie reținut că toate capetele cablului de rețea trebuie să fie conectate la ceva: la un computer, un terminator sau un repetor.

Ruperea cablului de rețea sau deconectarea unuia dintre capete ale acestuia duce la terminarea rețelei. Rețeaua este oprită. Rețelele de computere în sine rămân pe deplin operaționale, dar nu pot comunica între ele. Dacă LAN-ul se bazează pe un server, unde majoritatea resurselor software și informaționale sunt stocate pe server, atunci PC-ul, deși rămân operațional, sunt de puțin folos pentru munca practică.

Topologia magistralei este folosită în rețelele Ethernet, dar este rară în ultima vreme.

Exemple de topologii comune de magistrală sunt 10Base-5 (conectarea unui PC cu un cablu coaxial gros) și 10Base-2 (conectarea unui PC cu un cablu coaxial subțire).

Inel

Un inel este o topologie LAN în care fiecare stație este conectată la alte două stații pentru a forma un inel (Figura 3.3). Datele sunt transmise de la unul stație de lucru la altul într-o direcție (de-a lungul inelului). Fiecare PC acționează ca un repetor, retransmițând mesaje către următorul computer, de exemplu. datele sunt transmise de la un computer la altul ca prin releu. Dacă un computer primește date destinate altui computer, le transmite de-a lungul inelului, altfel nu sunt transmise. Principala problemă a topologiei în inel este că fiecare stație de lucru trebuie să participe activ la transferul de informații, iar dacă cel puțin una dintre ele eșuează, întreaga rețea este paralizată. Conectarea unei noi stații de lucru necesită o scurtă închidere a rețelei, așa cum în timpul instalării, inelul trebuie să fie deschis. Topologie Inelul are un timp de răspuns foarte previzibil, determinat de numărul de stații de lucru.

Orez. 3.3. Inel de topologie

Topologia inel pură este rar folosită. În schimb, topologia inelului joacă un rol de transport în schema metodei de acces. Inelul descrie o rută logică, iar pachetul este transmis de la o stație la alta, făcând în cele din urmă un cerc complet. În rețele inel cu simboluri ramura de cablu de la hub-ul central se numește MAU (Multiple Access Unit). MAU are un inel interior care conectează toate stațiile conectate la acesta și este folosit ca cale alternativă când cablul unei stații de lucru este rupt sau deconectat. Când cablul stației de lucru este conectat la MAU, acesta formează pur și simplu o prelungire a inelului: semnalele merg la stația de lucru și apoi revin înapoi la inelul interior.

Stea

O stea este o topologie LAN (Figura 3.4) în care toate stațiile de lucru sunt conectate la un nod central (cum ar fi un hub) care stabilește, menține și întrerupe legăturile dintre stațiile de lucru. Avantajul acestei topologii este capacitatea de a exclude cu ușurință un nod eșuat. Cu toate acestea, dacă nodul central eșuează, întreaga rețea se prăbușește.

Orez. 3.4. Steaua de topologie

În acest caz, fiecare computer printr-un adaptor de rețea special este conectat printr-un cablu separat la dispozitivul de îmbinare. Dacă este necesar, puteți combina mai multe rețele cu topologie stea împreună, obținând astfel configurații de rețea ramificate. Conectori speciali (distribuitoare, repetoare sau dispozitive de acces) trebuie utilizați la fiecare punct de ramificare.

Un exemplu de topologie stea este o topologie Ethernet Twisted Pair 10BASE-T, centrul Stelei este de obicei Hub-ul.

Topologia în stea asigură protecție împotriva ruperii cablului. Dacă cablul stației de lucru este deteriorat, acest lucru nu va duce la defecțiunea întregului segment de rețea. De asemenea, facilitează diagnosticarea problemelor de conexiune, deoarece fiecare stație de lucru are propriul său segment de cablu conectat la hub. Pentru diagnosticare, este suficient să găsiți o întrerupere a cablului care duce la o stație nefuncțională. Restul rețelei continuă să funcționeze normal.

Totuși, topologia în stea are și dezavantaje. În primul rând, necesită mult cablu. În al doilea rând, hub-urile sunt destul de scumpe. În al treilea rând, hub-urile de cablu cu o cantitate mare de cablu sunt dificil de întreținut. Cu toate acestea, în cele mai multe cazuri, această topologie folosește un cablu ieftin cu perechi răsucite. În unele cazuri, puteți folosi chiar și cabluri telefonice existente. În plus, pentru diagnosticare și testare, este avantajos să colectați toate capetele cablurilor într-un singur loc.

Caracteristicile comparative ale topologiilor de bază ale rețelei sunt prezentate în tabel. 3.1.

Tabelul 3.1. Caracteristici comparative topologii de bază ale rețelei

Topologie	Avantaje	dezavantaje
	Consum economic de cablu; Mediu de transmisie ieftin și ușor de utilizat; Simplitate și fiabilitate; Extensibilitate ușoară	Cu scăderi semnificative de trafic debitului; Localizarea dificilă a problemelor; Eșecul oricărui segment de cablu va opri întreaga rețea să funcționeze.
"Inel"	Toate PC-urile au acces egal; Numărul de utilizatori nu afectează performanța	Eșecul unui PC dezactivează întreaga rețea; Probleme dificil de localizat; Modificarea configurației rețelei necesită oprirea întregii rețele
"Stea"	Este ușor să instalați rețeaua sau să modificați rețeaua prin adăugarea de noi PC-uri; Control și management centralizat; Defecțiunea unui PC sau a unui segment de cablu nu afectează funcționarea întregii rețele	Defecțiunea sau pană de curent a hub-ului (comutatorului) dezactivează întreaga rețea; consum mare de cablu

Topologie- un cuvânt destul de frumos, sonor, foarte popular în unele cercuri nematematice, m-a interesat în clasa a IX-a. Desigur, nu aveam o idee exactă, însă bănuiam că totul era legat de geometrie.

Cuvintele și textul au fost alese astfel încât totul să fie „intuitiv clar”. Ca rezultat - o lipsă completă de alfabetizare matematică.

Ce este topologia ? Trebuie să spun imediat că există cel puțin doi termeni „Topologie” - unul dintre ei pur și simplu denotă o structură matematică, al doilea - poartă o întreagă știință. Această știință constă în studierea proprietăților unui obiect care nu se va schimba atunci când este deformat.

Exemplu ilustrativ 1. Cupă bagel.

Vedem că cana se transformă într-un bagel cu deformări continue (la oamenii de rând, un „tor bidimensional”). S-a observat că topologia studiază ceea ce rămâne neschimbat sub astfel de deformații. În acest caz, numărul de „găuri” din obiect rămâne neschimbat - este unul. Să lăsăm așa cum este deocamdată, ne dăm seama mai târziu)

Exemplu ilustrativ 2. Omul topologic.

Cu deformări continue, o persoană (vezi figura) își poate desface degetele - un fapt. Nu este imediat evident, dar poți ghici. Și dacă omul nostru topologic pune cu prudență ceasul pe o mână, atunci sarcina noastră va deveni imposibilă.

Să fim clari

Deci, sper că câteva exemple au adus o oarecare claritate la ceea ce se întâmplă.
Să încercăm să oficializăm totul într-un mod copilăresc.
Vom presupune că lucrăm cu figuri de plastilină, iar plastilina poate întinderea, comprimarea, în timp ce lipirea diferitelor puncte și goluri sunt interzise. Figurile sunt numite homeomorfe, care sunt traduse unele în altele prin deformări continue descrise puțin mai devreme.

O carcasă foarte utilă este o sferă cu mânere. O sferă poate avea 0 mânere - atunci este doar o sferă, poate una - atunci este o gogoașă (în oamenii de rând „tor bidimensional”) etc.
Deci, de ce o sferă cu mânere se deosebește de celelalte figuri? Totul este foarte simplu - orice figură este homeomorfă unei sfere cu un anumit număr de mânere. Adică, de fapt, nu avem nimic altceva.O_o Orice obiect tridimensional este aranjat ca o sferă cu un anumit număr de mânere. Fie că este o ceașcă, o lingură, o furculiță (linguriță = furculiță!), mouse-ul computerului, uman.

Iată o teoremă atât de semnificativă demonstrată. Nu de noi și nici acum. Mai exact, s-a dovedit pentru o situație mult mai generală. Să explic: ne-am limitat la luarea în considerare a figurilor turnate din plastilină și fără cavități. Acest lucru provoacă următoarele probleme:
1) nu putem obține o suprafață neorientabilă în niciun fel (sticlă Klein, bandă Möbius, plan proiectiv),
2) ne limităm la suprafețe bidimensionale (n/a: sferă - suprafață bidimensională),
3) nu putem obține suprafețe, figuri care se extind până la infinit (desigur că vă puteți imagina acest lucru, dar plastilina nu este suficientă).

Fâșia Mobius

Sticla Klein

Topologie retele de calculatoare

Una dintre cele mai importante diferențe între tipuri diferite rețelele este topologia lor.

Sub topologie de obicei înțelegeți poziția relativă a nodurilor rețelei unul față de celălalt. Nodurile de rețea includ în acest caz computere, hub-uri, comutatoare, routere, puncte de acces etc.

Topologia este configurarea legăturilor fizice dintre nodurile dintr-o rețea. Caracteristicile rețelei depind de tipul de topologie instalată. În special, alegerea unei anumite topologii afectează:

• asupra compozitiei necesarului echipamente de retea;
• privind capacitățile echipamentelor de rețea;
• privind posibilitatea extinderii rețelei;
• pe cale de a gestiona rețeaua.

Există următoarele tipuri principale de topologii: scut, inel, stea, topologie de plasă Și zăbrele. Restul sunt combinații ale topologiilor principale și se numesc mixte sau hibride.

Obosi. Rețelele cu topologie magistrală utilizează un monocanal liniar (cablu coaxial) pentru transmisia de date, la capete ale căruia sunt instalate mufe speciale - terminatoare. Sunt necesare pentru

Orez. 6.1.

pentru a stinge semnalul după trecerea prin autobuz. Dezavantajele topologiei magistralei includ următoarele:

• datele transmise prin cablu sunt disponibile pentru toate computerele conectate;
• în cazul unei defecțiuni a magistralei, întreaga rețea încetează să funcționeze.

Inel- aceasta este o topologie în care fiecare computer este conectat prin linii de comunicație la alți doi: primește informații de la unul, și transmite celuilalt, și implică următorul mecanism de transfer de date: datele sunt transmise secvenţial de la un computer la altul până când ajung. calculatorul destinatar. Dezavantajele topologiei „ring” sunt aceleași cu cele ale topologiei „bus”:

• disponibilitatea publică a datelor;
• instabilitate pentru deteriorarea sistemului de cabluri.

Stea- aceasta este singura topologie de rețea cu un centru clar definit, numit hub de rețea sau „hub” (hub), la care sunt conectați toți ceilalți abonați. Funcționalitatea rețelei depinde de starea acestui hub. Într-o topologie în stea, nu există conexiuni directe între două computere din rețea. Acest lucru are potențialul de a rezolva problema disponibilității datelor publice, precum și de a crește rezistența la deteriorarea sistemului de cablare.

Orez. 6.2.

Orez. 6.3. Topologie în stea

- aceasta este topologia unei rețele de calculatoare în care fiecare stație de lucru a rețelei este conectată la mai multe stații de lucru ale aceleiași rețele. Se caracterizează prin toleranță ridicată la erori, complexitate de configurare și consum excesiv de cablu. Fiecare computer are multe modalități posibile conexiuni cu alte calculatoare. O întrerupere a cablului nu va duce la pierderea conexiunii între cele două computere.

Orez. 6.4.

Zăbrele este o topologie în care nodurile formează o rețea multidimensională regulată. În acest caz, fiecare margine a rețelei este paralelă cu axa sa și conectează două noduri adiacente de-a lungul acestei axe. O rețea unidimensională este un lanț care conectează două noduri externe (având un singur vecin) printr-un anumit număr de noduri interne (care au doi vecini - în stânga și în dreapta). Când ambele noduri externe sunt conectate, se obține o topologie „inel”. Rețelele bidimensionale și tridimensionale sunt utilizate în arhitectura supercalculatoarelor.

Rețelele bazate pe FDDI utilizează o topologie „dublu inel”, obținând astfel fiabilitate și performanță ridicate. O rețea multidimensională conectată ciclic în mai multe dimensiuni este numită „tor”.

(Fig. 6.5) - topologia predominantă în rețele mari cu conexiuni arbitrare între computere. În astfel de rețele, fragmente separate conectate arbitrar pot fi distinse ( subrețele ), având o topologie tipică, de aceea se numesc rețele cu topologie mixtă.

Pentru a conecta un număr mare de noduri de rețea, se folosesc amplificatoare de rețea și (sau) comutatoare. Se folosesc și hub-uri active - comutatoare care au simultan funcțiile unui amplificator. În practică, sunt utilizate două tipuri de hub-uri active, care asigură conectarea a 8 sau 16 linii.

Orez. 6.5.

Un alt tip de dispozitiv de comutare este un hub pasiv, care vă permite să organizați o rețea de ramificație pentru trei stații de lucru. Numărul redus de noduri conectate înseamnă că hub-ul pasiv nu are nevoie de un amplificator. Astfel de hub-uri sunt utilizate în cazurile în care distanța până la stația de lucru nu depășește câteva zeci de metri.

În comparație cu o topologie magistrală sau inel, o topologie mixtă este mai fiabilă. Eșecul uneia dintre componentele rețelei în majoritatea cazurilor nu afectează performanța generală a rețelei.

Topologiile rețelelor locale discutate mai sus sunt de bază, adică de bază. Rețelele reale de calculatoare sunt construite pe baza sarcinilor pe care o anumită rețea locală este proiectată să le rezolve și pe structura fluxurilor sale de informații. Astfel, în practică, topologia retele de calculatoare este o sinteză a tipurilor tradiționale de topologii.

Principalele caracteristici ale rețelelor de calculatoare moderne

Calitatea rețelei este caracterizată de următoarele proprietăți: performanță, fiabilitate, compatibilitate, manevrabilitate, securitate, extensibilitate și scalabilitate.

Înapoi la caracteristicile principale performanţă rețelele includ:

• timp de reactie – o caracteristică care este definită ca timpul dintre apariția unei cereri către un serviciu de rețea și primirea unui răspuns la aceasta;
• debitului – o caracteristică care reflectă cantitatea de date transmisă de rețea pe unitatea de timp;
• întârziere de transmisie este intervalul dintre momentul în care un pachet ajunge la intrarea unora dispozitiv de rețeași momentul apariției sale la ieșirea acestui dispozitiv.

Pentru evaluări de fiabilitate rețelele folosesc o varietate de caracteristici, inclusiv:

• rata de disponibilitate, adică fracțiunea de timp în care sistemul poate fi utilizat;
• Securitate, acestea. capacitatea sistemului de a proteja datele împotriva accesului neautorizat;
• toleranta la erori - capacitatea sistemului de a funcționa în condiții de defecțiune a unora dintre elementele sale.

Extensibilitate înseamnă capacitatea de a adăuga relativ ușor elemente de rețea individuale (utilizatori, calculatoare, aplicații, servicii), de a crește lungimea segmentelor de rețea și de a înlocui echipamentele existente cu altele mai puternice.

Scalabilitate înseamnă că rețeaua vă permite să creșteți numărul de noduri și lungimea legăturilor într-o gamă foarte largă, în timp ce performanța rețelei nu se deteriorează.

Transparență - proprietatea rețelei de a ascunde de utilizator detaliile acesteia dispozitiv intern, simplificându-și astfel munca în rețea.

Controlabilitate rețelele implică capacitatea de a monitoriza la nivel central starea principalelor elemente ale rețelei, de a identifica și rezolva problemele care apar în timpul funcționării rețelei, de a efectua analize de performanță și de a planifica dezvoltarea rețelei.

Compatibilitate înseamnă că rețeaua este capabilă să includă o mare varietate de software și hardware.

Dicționar explicativ al limbii ruse. D.N. Uşakov

topologie

topologie, pl. nu, w. (din greaca topos - loc si logos - invatatura) (mat.). O parte a geometriei care studiază proprietățile calitative ale figurilor (adică, independent de concepte precum lungime, unghiuri, dreptate etc.).

Noul dicționar explicativ și derivativ al limbii ruse, T. F. Efremova.

topologie

bine. O ramură a matematicii care studiază proprietățile calitative ale figurilor geometrice care nu depind de lungimea lor, unghiuri, dreptate etc.

Dicţionar enciclopedic, 1998

topologie

TOPOLOGIA (din greacă. topos - loc și ... ologie) este o ramură a matematicii care studiază proprietățile topologice ale figurilor, i.e. proprietăți care nu se modifică sub nicio deformație produsă fără discontinuități și lipiri (mai precis, sub mapări one-to-one și continue). Exemple de proprietăți topologice ale figurilor sunt dimensiunea, numărul de curbe care delimitează o zonă dată și așa mai departe. Deci, un cerc, o elipsă, un contur pătrat au aceleași proprietăți topologice, deoarece aceste linii pot fi deformate una în alta în modul descris mai sus; în același timp, inelul și cercul au proprietăți topologice diferite: cercul este delimitat de un contur, iar inelul de două.

Topologie

(din grecescul topos ≈ loc și ¼ logie) ≈ parte a geometriei dedicată studiului fenomenului de continuitate (exprimat, de exemplu, în conceptul de limită). O varietate de manifestări ale continuității în matematică și o gamă largă de abordări diferite ale studiului acesteia au condus la dezintegrarea unei singure teorii a matematicii într-un număr de departamente („teoria generală”, „teoria algebrică”, etc.), care diferă unul de altul în materia și metoda de studiu și de fapt foarte puțin interconectate. I. Topologie generală Partea de teorie orientată spre studiul axiomatic al continuității se numește teorie generală, iar alături de algebra, teoria generală formează baza metodei moderne de teorie a mulțimilor în matematică. Din punct de vedere axiomatic, continuitatea poate fi definită în multe moduri (în general, neechivalente). Axiomatica general acceptată se bazează pe conceptul unui set deschis. O structură topologică, sau topologie, pe o mulțime X este o astfel de familie de submulțimi, numite mulțimi deschise, încât: 1) mulțimea goală Æ și tot X sunt deschise; 2) uniunea oricărui număr și intersecția unui număr finit de mulțimi deschise este deschisă. O mulțime pe care este dată o structură topologică se numește spațiu topologic. Într-un spațiu topologic X se pot defini toate conceptele de bază ale analizei elementare legate de continuitate. De exemplu, o vecinătate a unui punct x О X este o mulțime deschisă arbitrară care conține acest punct; o mulţime A Ì X se numeşte închisă dacă complementul său X \ A este deschis; închiderea unei mulțimi A este cea mai mică mulțime închisă care conține A; dacă această închidere coincide cu X, atunci se spune că A este dens peste tot în X și așa mai departe. Prin definiție, Æ și X sunt ambele mulțimi închise și deschise. Dacă nu există alte mulțimi în X care sunt simultan închise și deschise, atunci spațiul topologic X se spune că este conectat. Un spațiu conectat vizual este format dintr-o „piesă”, iar unul deconectat este format din mai multe. Orice submulțime A a unui spațiu topologic X are o structură topologică naturală constând din intersecții cu A de mulțimi deschise din X. Un A echipat cu această structură se numește subspațiu al spațiului X. vecinătatea sa e (bilă de rază e centrată pe acest punct). În special, orice submulțime a unui spațiu euclidian n-dimensional ═ este un spațiu topologic. Teoria unor astfel de spații (sub denumirea de „teoria geometrică”) și teoria spațiilor metrice sunt în mod tradițional incluse în teoria generală.Teoria geometrică este destul de clar împărțită în două părți: studiul submulților de complexitate arbitrară, sub rezerva anumitor restricții de o natură generală (un exemplu se numește teoria continuumurilor, adică mulțimi închise mărginite conectate) și studiul modalităților în care spații topologice simple precum sferă, bilă etc. pot fi încorporate în ═. (investițiile în, de exemplu, sfere pot fi foarte complexe). O acoperire deschisă a unui spațiu topologic X este o familie de mulțimi deschise a căror unire este întregul lui X. Un spațiu topologic X este numit compact (în altă terminologie, ≈bicompact) dacă oricare dintre învelișurile sale deschise conține un număr finit de elemente. care formează și o acoperire. Teorema clasică Heine ≈ Borel afirmă că orice submulțime închisă mărginită este ═compact. Rezultă că toate teoremele principale ale analizei elementare despre mulțimi închise mărginite (de exemplu, teorema Weierstrass că o funcție continuă atinge valoarea maximă pe o astfel de mulțime) sunt valabile pentru orice spații topologice compacte. Aceasta definește rolul fundamental jucat de spațiile compacte în matematica modernă (în special în legătură cu teoremele de existență). Izolarea clasei de spații topologice compacte a fost una dintre cele mai mari realizări ale matematicii generale, care are o semnificație matematică generală. Se spune că un înveliș deschis (Vb) este înscris în (Ua) dacă pentru oricare b există o astfel încât Vb Ì Ua. Se spune că o acoperire (Vb) este local finită dacă fiecare punct x Î X are o vecinătate care intersectează doar un număr finit de elemente ale acestei acoperiri. Se spune că un spațiu topologic este paracompact dacă oricare dintre acoperirile sale deschise poate fi înscris cu o acoperire finită local. Clasa spațiilor paracompacte este un exemplu de clase de spații topologice obținute prin impunerea așa-numitelor condiții de tip compactitate. Această clasă este foarte largă; în special, conține toate spațiile topologice metrizabile, adică spațiile X în care este posibil să se introducă o metrică r astfel încât T. generat de r în X să coincidă cu T. dat în X. Multiplicitatea unui capac deschis este cel mai mare număr k astfel încât există k dintre elementele sale care au o intersecție nevidă. Cel mai mic număr n care are proprietatea că orice înveliș finit deschis al unui spațiu topologic X poate fi înscris cu un înveliș deschis de multiplicitate £n + 1 este notat cu simbolul dimX și se numește dimensiunea lui X. Această denumire este justificată de faptul că în situații geometrice elementare dimX coincide cu dimensiunea obișnuită înțeleasă, de exemplu dim = n. Sunt posibile și alte funcții numerice ale spațiului topologic X, diferite de dimX, dar în cele mai simple cazuri coincid cu dimX. Studiul lor este subiectul teoriei generale a dimensiunii, partea cea mai orientată geometric a generalului T. Numai în cadrul acestei teorii este posibil, de exemplu, să se dea o definiție clară și destul de generală a conceptului intuitiv al unei figuri geometrice și, în special, a conceptului de linie, suprafață etc. Clase importante de spații topologice se obțin prin impunerea așa-numitelor axiome de separabilitate. Un exemplu este așa-numita axiomă Hausdorff sau axioma T2, care necesită ca oricare două puncte distincte să aibă vecinătăți care nu se intersectează. Un spațiu topologic care satisface această axiomă se numește Hausdorff sau separabil. De ceva timp, aproape exclusiv spațiile Hausdorff au fost întâlnite în practica matematică (de exemplu, orice spațiu metric este Hausdorff). Cu toate acestea, rolul spațiilor topologice non-Hausdorff în analiză și geometrie este în continuă creștere. Spațiile topologice care sunt subspații ale spațiilor (bi)compacte Hausdorff sunt numite spații complet regulate sau spații Tihonov. Ele pot fi caracterizate și printr-o anumită axiomă de separabilitate, și anume, o axiomă care necesită ca pentru orice punct x0 ═X și orice mulțime închisă F ═X care nu o conține, să existe o funcție continuă g: X ╝ , egală cu zero la x0 și unul pe F. Spațiile topologice care sunt subspații deschise ale spațiilor Hausdorff compacte se numesc local spații compacte. Ele se caracterizează (în clasa spațiilor Hausdorff) prin faptul că fiecare dintre punctele lor are o vecinătate cu închidere compactă (exemplu: spațiu euclidian). Orice astfel de spațiu este completat de un punct pentru a-l face compact (exemplu: adunând un punct din plan, se obține sfera unei variabile complexe, iar din ═≈ sfera S n). O mapare f: X ╝ Y dintr-un spațiu topologic X la un spațiu topologic Y se numește mapare continuă dacă, pentru orice mulțime deschisă V Ì Y, mulțimea f≈1(V) este deschisă în X. O mapare continuă se numește un homeomorfism dacă este unul la unu și maparea inversă f≈ 1: Y ╝ X este continuă. O astfel de mapare stabilește o corespondență unu-la-unu între mulțimi deschise de spații topologice X și Y, care comută cu operațiile de unire și intersecție a mulțimilor. Prin urmare, toate proprietățile topologice (adică proprietățile formulate în termeni de mulțimi deschise) ale acestor spații sunt aceleași, iar din punct de vedere topologic, spațiile topologice homeomorfe (adică spații pentru care există cel puțin un homeomorfism X ╝ Y) ar trebui considerată la fel (la fel ca în geometria euclidiană figurile care pot fi combinate prin mișcare sunt considerate la fel). De exemplu, cercul și limita unui pătrat, hexagon etc. sunt homeomorfe („topologic la fel”). În general, oricare două linii închise simple (fără puncte duble) sunt homeomorfe. Dimpotrivă, un cerc nu este homeomorf la o dreaptă (deoarece eliminarea unui punct nu rupe conexiunea cercului, ci rupe conexiunea dreptei; din același motiv, linia dreaptă nu este homeomorfă cu planul). , iar cercul nu este homeomorf la „opt”). De asemenea, cercul nu este homeomorf cu planul (aruncați nu unul, ci două puncte). Fie (Xa) ≈ o ​​familie arbitrară de spații topologice. Se consideră mulțimea X a tuturor familiilor de forma (хa), unde xa ═Xa (produsul direct al mulțimilor Xa). Pentru orice a, formula definește o mapare ═ (numită proiecție). În general vorbind, multe structuri topologice pot fi introduse în X sub care toate hărțile pa sunt continue. Printre aceste structuri, există cea mai mică (adică conținută în orice astfel de structură). Mulțimea X înzestrată cu această structură topologică se numește produsul topologic al spațiilor topologice Xa și se notează prin simbolul ПХa (și în cazul unui număr finit de factori, prin simbolul X1 ` ... ` Xn). În mod explicit, mulțimile deschise ale lui X pot fi descrise ca uniunea intersecțiilor finite ale tuturor mulțimilor de forma în care Ua este deschisă în Xa. Spațiul topologic X are următoarea proprietate remarcabilă de universalitate, care îl caracterizează în mod unic (până la homeomorfism): pentru orice familie de mapări continue fa: Y ╝ Xa, există o mapare continuă unică f: Y ╝ X pentru care ══pentru toate A. Spațiul ═este produsul topologic al n instanțe ale liniei reale. Una dintre cele mai importante teoreme ale teoriei generale este afirmația că produsul topologic al spațiilor topologice compacte este compact. Dacă X ≈ un spațiu topologic și Y ≈ o mulțime arbitrară și dacă este dată o mapare p: X ╝ Y a spațiului X pe mulțimea Y ​​este dată (de exemplu, dacă Y este o mulțime de factori ai X printr-o relație de echivalență, iar p este o proiecție naturală care mapează fiecărui element al lui x н X clasa sa de echivalență), atunci putem pune problema introducerii în Y a unei structuri topologice în raport cu care maparea p este continuă. Cea mai „bogată” (în mulțimi deschise) o astfel de structură se obține presupunând că toate mulțimile V Ì Y sunt mulțimi deschise în Y pentru care mulțimea f‑1(V) Ì X este deschisă în X. Mulțimea Y ​​dotată cu aceasta structura topologică se numește spațiul coeficient al spațiului topologic X (față de p). Are proprietatea că o mapare arbitrară f: Y ╝ Z este continuă dacă și numai dacă maparea ═: X ╝ Z este continuă X. O mapare continuă p: X ╝ Y se numește deschisă dacă pentru orice mulțime deschisă U Ì X mulțimea p(U) este deschisă în Y și închisă dacă pentru orice mulțime închisă F Ì X mulțimea p(F) este închisă în Y. Ca mapări continue deschise și închise f: X ╝ Y pentru care f(X) = Y sunt factoriali. Fie X ≈ un spațiu topologic, A ≈ subspațiul său și f: A ╝ Y ≈ o hartă continuă. Presupunând că spațiile topologice X și Y sunt disjunctive, introducem o structură topologică în uniunea lor X È Y, considerând uniunile de mulțimi deschise din X și Y ca fiind mulțimi deschise. În continuare, introducem în spațiul X È Y cele mai mici. relație de echivalență în care a ~ f(a) pentru orice punct a Î A. Spațiul coeficient corespunzător se notează cu X È fY și se spune că se obține prin lipirea unui spațiu topologic X de un spațiu topologic Y față de A. prin intermediul unei hărți continue f. Această operație simplă și vizuală se dovedește a fi foarte importantă, deoarece permite obținerea unora mai complexe din spații topologice relativ simple. Dacă Y constă dintr-un singur punct, atunci spațiul X È fY este notat cu X/A și se spune că se obține din X prin contractarea lui A la un punct. De exemplu, dacă X ≈ un disc și A ≈ cercul său de limită, atunci X/A este homeomorf unei sfere. 2. Topologie uniformă Partea teoriei care studiază conceptul axiomatic al continuității uniforme se numește teorie uniformă.Definiția continuității uniforme a funcțiilor numerice cunoscute din analiză poate fi transferată direct în mapările oricăror spații metrice. Prin urmare, axiomatica continuității uniforme se obține de obicei pornind de la spații metrice. Sunt studiate în detaliu două abordări axiomatice ale continuității uniforme, bazate, respectiv, pe conceptele de proximitate și împrejurimi a diagonalei. Submulțimile A și B ale spațiilor metrice X se numesc apropiate (notația AdB) dacă pentru orice e > 0 există puncte a Î A și b Î B, distanța dintre care< e. Принимая основные свойства этого отношения за аксиомы, приходят к следующему определению: (отделимой) структурой близости на множестве Х называется такое отношение d на множестве всех его подмножеств, что: 1) ÆX (символом обозначается отрицание отношения d; 2) AB1 и AB2Û A(B1 U B2); ═3) {x}{y} Û x ¹ y;4) если АВ, то существует такое множество С В, что А(Х\С). Множество, в котором задана структура близости, называется пространством близости. Отображение пространства близости Х в пространство близости Y называется близостно непрерывным, если образы близких в Х множеств близки в Y. Пространства близости Х и Y называются близостно гомеоморфными (или эквиморфными), если существует взаимно однозначное близостно непрерывное отображение X ╝ Y, обратное к которому также является близостно непрерывным (такое близостно непрерывное отображение называется эквиморфизмом). В равномерной Т. эквиморфные пространства близости рассматриваются как одинаковые. Подобно метрическим пространствам, любое пространство близости можно превратить в (хаусдорфово) топологическое пространство, считая подмножество u Ì x открытым, если {x}(X \U) для любой точки х Î U. При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями. Класс топологических пространств, получающихся описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных топологических пространств. Для любого вполне регулярного пространства Х все структуры близости на X, порождающие его топологическую структуру, находятся во взаимно однозначном соответствии с так называемыми компактификациями (в другой терминологии ≈ би-компактными расширениями) вХ ≈ компактными хаусдорфовыми топологическими пространствами, содержащими Х в качестве всюду плотного пространства. Структура близости d, соответствующая расширению вХ, характеризуется тем, что АdВ тогда и только тогда, когда замыкания множеств А и В пересекаются в bX. В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологическом пространстве Х существует единственная структура близости, порождающая его топологическую структуру. Другой подход основан на том, что равномерную непрерывность в метрическом пространстве Х можно определить в терминах отношения «точки х и у находятся на расстоянии, не большем e». С общей точки зрения, отношение на Х есть не что иное как произвольное подмножество U прямого произведения Х ` X. Отношение «тождество» является с этой точки зрения диагональю D Ì Х ` X, то есть множеством точек вида (х, х), х Î X. Для любого отношения U определено обратное отношение U≈1 = {(х, у); (у, х) Î U } и для любых двух отношений U и V определена их композиция U × V = {(х, у); существует z Î Х такое, что (х, z) Î U, (z, y) Î V }. Семейство отношений {U } называется (отделимой) равномерной структурой на Х (а отношения U называется окружениями диагонали), если: 1) пересечение любых двух окружений диагонали содержит окружение диагонали; 2) каждое окружение диагонали содержит D, и пересечение всех окружений диагонали совпадает с D; 3) вместе с U окружением диагонали является и U≈1; 4) для любого окружения диагонали U существует такое окружение диагонали W, что W o W Ì U. Множество, наделённое равномерной структурой, называется равномерным пространством. Отображение f: X ╝ Y равномерного пространства Х в равномерное пространство Y называется равномерно непрерывным, если прообраз при отображении f ` f: Х ` Х ╝ Y ` Y любого окружения диагонали V Ì Y ` Y содержит некоторое окружение диагонали из Х ` X. Равномерные пространства Х и Y называются равномерно гомеоморфными, если существует взаимно однозначное равномерно непрерывное отображение Х ╝ Y, обратное к которому также является равномерно непрерывным отображением. В равномерной Т. такие равномерные пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура на Х определяет некоторую структуру близости: АdВ тогда и только тогда, когда (A ` В) Ç U ¹ Æ для любого окружения диагонали U Ì X ` X. При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными. 3. Topologie algebrică Fie fiecare spațiu topologic X (din o clasă) să fie asociat cu un obiect algebric h(X) (grup, inel etc.), și fiecare mapare continuă f: X ╝ Y ≈ un homomorfism h(f) : h( X) ╝ h(Y) (sau h(f) : h(Y) ╝ h(X), care este homomorfismul identităţii când f este harta identităţii. Dacă h(f1 ═f2) = h(f1) ═h( f2 ) (sau, respectiv, h(f1 ═f2) = h(f2) h(f1), atunci spunem că h este un functor (respectiv, un cofunctor). Majoritatea problemelor din teoria algebrică sunt legate într-un fel sau altul cu următoarea problemă de propagare: pentru o mapare continuă dată f: A ╝ Y a unui subspațiu A Ì X într-un spațiu topologic Y, găsiți o mapare continuă g: X ╝ Y care coincide cu f pe A, adică astfel încât f = g×i, unde i: A ╝ X ≈ maparea de încorporare (i(a) = a pentru orice punct a н A) Dacă o astfel de mapare continuă g există, atunci pentru orice functor (cofunctor) h există un homomorfism (j : h(X ) ╝ h(Y) (homomorfism j: h(Y) ╝ h(X)), astfel încât h(f) = j ═h(i) (respectiv, h(f) = h(i) ═j); va fi homomorfismul j = h(g). În consecință, inexistența homomorfismului j (pentru cel puțin un functor h) implică inexistența mapării g. De fapt, aproape toate metodele algebricei T pot fi reduse la acest principiu simplu, de exemplu, există un functor h a cărui valoare pe bila E n este trivială, iar pe sfera S n≈1 ≈ un grup netrivial pe sferă. S limitând mingea. Aceasta implică deja absența așa-numitei retractii ≈ mapare continuă p: E n╝ S n≈1, fixată pe S n≈1, adică astfel încât compoziția р×i, unde i: S n-1 ╝ E n ≈ maparea de încorporare , este maparea identității (dacă p există, atunci maparea identității grupului h(S n≈1) va fi compoziția mapărilor h(i) : h(S n≈1) ╝ h(E n) și h(p) : h( E n) ╝ h(S n≈1), ceea ce este imposibil pentru grupul trivial h(E n)). Cu toate acestea, acest fapt esențial geometric-elementar și (pentru n = 2) clar evident (însemnând din punct de vedere fizic posibilitatea de a trage o tobă pe un cerc rotund) nu a fost încă dovedit fără utilizarea metodelor algebric-topologice. Consecința sa imediată este afirmația că orice mapare continuă f: E n╝ E n are cel puțin un punct fix, adică ecuația f(x) = x are cel puțin o soluție în E n (dacă f(x) ¹ x pentru din toate x О E n, atunci, luând pentru p(x) un punct din S n≈1 coliniar la punctele f(x) și x și astfel încât segmentul cu capete f(x) și p(x) conţine x, obţinem retragerea p: E n╝ S n≈1). Această teoremă de punct fix a fost una dintre primele teoreme din teoria algebrică și mai târziu a devenit sursa unei serii întregi de diverse teoreme de existență pentru soluții la ecuații. În general, stabilirea inexistenței unui homomorfism (j) este cu atât mai ușoară, cu cât este mai complexă structura algebrică a obiectelor h(X).De aceea, obiectele algebrice sunt considerate în T. algebric de natură extrem de complexă, iar cerințele a topologiei algebrice a stimulat semnificativ dezvoltarea algebrei abstracte.Spațiul topologic X este numit spațiu celular, precum și partiție celulară (sau complex CW) dacă conține o succesiune crescândă de subspații X 0 Ì 0 Ì X n≈1 Ì X n Ì 0 (numite scheletele spațiului celular X), a cărui unire este întregul lui X și sunt îndeplinite următoarele condiții: 1) mulțimea U Ì X este deschisă în X dacă și numai dacă pentru orice n mulţimea U Ç X n este deschisă în X n; 2) X n se obține din X n≈1 prin lipirea unei familii de bile n-dimensionale de-a lungul sferelor lor (n≈1)-dimensionale (prin intermediul unei mapări continue arbitrare a acestor sfere în X n≈1); 3) X0 este format din puncte izolate. Astfel, structura spațiului celular constă, grosier vorbind, în faptul că acesta este reprezentat ca o unire de mulțimi homeomorfe cu bile deschise (aceste mulțimi se numesc celule). În T. algebric, spațiile celulare sunt studiate aproape exclusiv, întrucât specificitatea problemelor T. algebric pentru ele este deja pe deplin manifestată. Mai mult, de fapt, pentru T. algebric, unele spații celulare deosebit de simple (de tipul poliedrelor, vezi mai jos) prezintă interes, dar îngustarea clasei de spații celulare, de regulă, complică semnificativ studiul (din moment ce multe operaţiile utile asupra spaţiilor celulare sunt derivate din clasa poliedrelor). Două mapări continue f, g: X ╝ Y sunt numite homotopice dacă pot fi deformate continuu una în cealaltă, adică dacă există o familie de mapări continue ft: X ╝ Y continuu în funcție de parametrul t н astfel încât f0= f și f1 = g (dependența continuă de t înseamnă că formula F(x, t) = ft(x), x н X, t н definește o mapare continuă F: X ` ╝ Y; această mapare, precum și familia (ft ) se numește homotopie care leagă f la g). Colecția tuturor mapărilor continue X ╝ Y se împarte în clase de homotopie de mapări reciproc homotopice. Setul de clase de homotopie de mapări continue de la X la Y este notat cu simbolul . Studiul proprietăților relației de homotopie și, în special, a mulțimilor este subiectul așa-numitei topologii de homotopie (sau teoria homotopiei). Pentru majoritatea spațiilor topologice interesante, mulțimile sunt finite sau numărabile și pot fi calculate în mod explicit eficient. Se spune că spațiile topologice X și Y sunt echivalente homotopic, sau având același tip de homotopie, dacă există hărți continue f: X ╝ Y și g: Y ╝ X astfel încât hărțile continue g×f: X ╝ X și f×g : Y ╝ Y sunt homotopice la mapările de identitate corespunzătoare. Într-o teorie a homotopiei, astfel de spații ar trebui să fie considerate identice (toți „invarianții de homotopie” lor coincid). Rezultă că în multe cazuri (în special, pentru spațiile celulare) solubilitatea problemei de propagare depinde doar de clasa de homotopie a hărții continue f: A ╝ Y; mai precis, dacă f are extensia g: X ╝ Y, atunci pentru orice homotopie ft: A ╝ Y (cu f0 = f) există o extensie gt: X ╝ Y astfel încât g0 = g. Prin urmare, în loc de f, putem considera clasa sa de homotopie [f] și, în consecință, studiem doar functorii (cofunctori) invarianți de homotopie h, adică astfel încât h(f0) = h(f1) dacă hărțile f0 și f1 sunt homotopice . Acest lucru duce la o împletire atât de strânsă a teoriei algebrice și homotopice, încât acestea pot fi considerate ca o singură disciplină. Pentru orice spațiu topologic Y, formulele h(X) = și h(f) = , unde f: X1 ╝ X2 și j: X2 ╝ Y, definesc un cofunctor invariant de homotopie h, despre care se spune că este reprezentat de spațiul topologic Y. Aceasta este ≈ este o metodă standard (și în esență singura) pentru construirea cofunctorilor invarianți de homotopie. Pentru ca mulțimea h(X) să se dovedească a fi, să zicem, un grup, trebuie să alegem Y într-un mod adecvat, de exemplu, necesită ca acesta să fie un grup topologic (în general vorbind, acest lucru nu este în întregime adevărat: este este necesar să se aleagă un punct x0 în X și să se ia în considerare doar mapări și homotopii continue, transformând x0 în unitatea grupului; această complicație tehnică va fi însă ignorată în cele ce urmează). Mai mult, este suficient ca Y să fie un grup topologic „în sensul de homotopie”, adică ca axiomele asociativității și existența unui element invers (afirmând că unele mapări coincid de fapt) să țină doar „până la homotopie”. Astfel de spații topologice sunt numite spații H. Astfel, fiecare H-spațiu Y definește un cofunctor homotopic invariant h(X) = ale cărui valori sunt grupuri. În mod similar (“dual”), fiecare spațiu topologic Y definește, prin formulele h(X) = , h(f) = , unde f: X1 ╝ X2 și j: Y ╝ X1, un functor h. Pentru ca h(X) să fie un grup, Y trebuie să aibă o anumită structură algebrică, într-un sens bine definit structura duală a unui spațiu H. Spațiile topologice dotate cu această structură sunt numite co-H-spații. Un exemplu de co-H-spațiu este sfera n-dimensională S n (pentru n ³ 1). Astfel, pentru orice spațiu topologic X, formula pnX = definește un grup pnX, n ³ 1, care se numește a n-a grupă de homotopie a spațiului X. Pentru n = 1, coincide cu grupul fundamental. Pentru n > 1 grupul pnX este comutativ. Dacă p1X= (1), atunci X se numește simplu conex. Un spațiu celular X se numește spațiu K(G, n) dacă pi(X) = 0 pentru i ¹ n și pnX = G; un astfel de spațiu celular există pentru orice n ³ 1 și orice grup G (commutativ pentru n > 1) și este definit în mod unic până la echivalența homotopiei. Pentru n > 1 (și de asemenea pentru n = 1, dacă grupul G este comutativ), spațiul K(G, n) se dovedește a fi un spațiu H și, prin urmare, reprezintă un grup H n(X; G) = . Acest grup este numit grupul de coomologie n-dimensională a unui spațiu topologic X cu grupul de coeficienți G. Este un reprezentant tipic al unui număr de cofunctori importanți, printre care se numără, de exemplu, functorul K KO(X) = [X , BO], reprezentată de așa-numitul BO Grassmannian infinit-dimensional, grupul de cobordism orientat WnX etc. Dacă G este un inel, atunci suma directă H*(X; G) a grupurilor H n(X; G) este o algebră peste G. Mai mult, această sumă directă are o structură algebrică foarte complexă, în care (pentru G = Zp, unde Zp ≈ grup ciclic de ordin p) include acțiunea asupra H*(X; G) a unei algebre necomutative p, numită algebra Steenrod. Complexitatea acestei structuri face posibilă, pe de o parte, dezvoltarea unor metode eficiente (dar deloc simple) de calcul a grupurilor H n(X; G), iar pe de altă parte, stabilirea legăturilor între grupele H. n(X; G) și alți functori invarianți de homotopie (de exemplu, , grupuri de homotopie pnX), care fac adesea posibilă calcularea acestor functori în mod explicit. Din punct de vedere istoric, grupurile de coomologie au fost precedate de așa-numitele grupuri de omologie Hn(X; G), care sunt grupurile de homotopie pnM(X, G) ale unui spațiu celular M(X, G) construit unic din spațiul celular X și grupa G. Grupurile de omologie și coomologie sunt într-un anumit sens duale între ele, iar teoriile lor sunt în esență echivalente. Cu toate acestea, structura algebrică care există în grupurile de omologie este mai puțin familiară (de exemplu, aceste grupuri nu constituie o algebră, ci o așa-numită coalgebră) și, prin urmare, grupurile de coomologie sunt de obicei utilizate în calcule. În același timp, în unele întrebări, grupurile de omologie se dovedesc a fi mai convenabile, deci sunt și ele studiate. Partea teoriei algebrice care se ocupă cu studiul (și aplicarea) grupurilor de omologie și coomologie se numește teoria omologiei. Extinderea rezultatelor teoriei algebrice la spații mai generale decât spațiile celulare este subiectul așa-numitei teorii algebrice generale.În special, teoria omologiei generale studiază grupurile de omologie și coomologie ale spațiilor topologice arbitrare și aplicațiile acestora. Rezultă că în afara clasei de spații celulare compacte, abordări diferite ale construcției acestor grupuri conduc, în general, la rezultate diferite, astfel încât pentru spațiile topologice necelulare apar o serie de grupuri diferite de omologie și coomologie. Principala aplicație a teoriei generale a omologiei este în teoria dimensiunii și în teoria așa-numitelor legi ale dualității (care descriu relația dintre proprietățile topologice a două submulțimi suplimentare ale unui spațiu topologic), iar dezvoltarea sa a fost stimulat în mare măsură de nevoile acestor teorii. 4. Topologie liniară pe bucăți O submulțime Р О ═ se numește con cu vârful a și baza В dacă fiecare dintre punctele sale aparține unui singur segment de forma ab, unde b О В. O submulțime X О ═ se numește poliedru dacă oricare dintre punctele sale are un cartier din X a cărui închidere este un con cu bază. O mapare continuă f: X ╝ Y a poliedrelor se numește liniară pe bucăți dacă este liniară pe razele fiecărei vecinătăți conice a oricărui punct x Î X. O mapare liniară pe bucăți unu-la-unu a cărei inversă este, de asemenea, liniară pe bucăți se numește a izomorfism liniar pe bucăți. Subiectul teoriei liniare pe bucăți este studiul poliedrelor și al mapărilor lor liniare pe bucăți. În teoria liniară pe bucăți, poliedrele sunt considerate identice dacă sunt izomorfe liniar pe bucăți. O submulțime Х О ═este un poliedru (compact) dacă și numai dacă este uniunea unei familii (finite) de poliedre convexe. Orice poliedru poate fi reprezentat ca o uniune de simplexe care se intersectează numai de-a lungul fețelor întregi. O astfel de reprezentare se numește triangularea poliedrului. Fiecare triangulație este determinată în mod unic de schema sa simplială, adică de mulțimea tuturor vârfurilor sale, în care sunt marcate submulțimile, care sunt mulțimi de vârfuri ale simplexurilor. Prin urmare, în loc de poliedre, se pot lua în considerare doar scheme simple ale triangulațiilor lor. De exemplu, conform schemei simple, se pot calcula grupele de omologie și coomologie. Aceasta se face astfel: a) un simplex ale cărui vârfuri sunt ordonate într-un anumit mod se numește simplex ordonat al triangulației (sau schemei simpliale) dată K; combinațiile liniare formale de simplexe ordonate de o dimensiune n dată cu coeficienți dintr-un grup dat G se numesc lanțuri n-dimensionale; toate formează un grup în mod natural, care este notat cu simbolul C n(K; G); b) eliminând vârful cu numărul i, 0 £ i £ n din simplexul n-dimensional ordonat s, obținem un simplex (n≈1)-dimensional ordonat, care se notează cu simbolul s(i); lanțul ═ se numește limita lui s; prin liniaritate, maparea ═ se extinde la un homomorfism ═: Cn(K; G) ╝ Cn-1 (K; G); c) lanţurile c pentru care ═= 0 se numesc cicluri, formează grupul de cicluri Zn(K; G); d) lanțurile de forma ═ se numesc limite, ele formează grupul de limită Bn(K; G); e) demonstrați că Bn(K; G) Ì Zn(K; G) (limita este un ciclu); prin urmare, grupa de coeficient Hn(K; G) = Zn(K; G)/Bn(K; G) este definită. Rezultă că grupul Hn(K; G) este izomorf cu grupul de omologie Hn(X; G) al poliedrului X a cărui triangulație este K. O construcție similară, în care se începe nu de la lanțuri, ci de la colanțuri (funcții arbitrare definite pe mulțimea tuturor simplexelor ordonate și luând valori în G), dă grupuri de coomologie. Cu această construcție, prezentată aici într-o formă ușor modificată, a început formarea esențial algebricii T. În construcția inițială s-au luat în considerare așa-numitele simplexe orientate (clase de simplexe ordonate care diferă în permutații pare ale vârfurilor). Această construcție a fost dezvoltată și generalizată într-o mare varietate de direcții. În special, aspectele sale algebrice au dat naștere așa-numitei algebre omologice. În modul cel mai general, o schemă simplială poate fi definită ca o mulțime în care sunt marcate unele submulțimi finite („simplici”) și este necesar ca orice submulțime a unui simplex să fie din nou un simplex. O astfel de schemă simplială este o schemă de triangulare simplă a unui poliedru dacă și numai dacă numărul de elemente ale unei submulțimi marcate arbitrare nu depășește un număr fix. Totuși, conceptul de poliedru poate fi generalizat (prin obținerea așa-numitelor „poliedre cu dimensiuni infinite”), iar atunci orice schemă simplială va fi deja o schemă de triangulare a unui poliedru (numită realizarea lui geometrică). O acoperire deschisă (Ua) arbitrară a fiecărui spațiu topologic X poate fi asociată cu o schemă simplială ale cărei vârfuri sunt elementele Ua ale acoperirii și a cărei submulțime este marcată dacă și numai dacă elementele acoperirii care alcătuiesc această submulțime au un -intersectia goala. Această schemă simplă (și poliedrul corespunzător) se numește acoperire nervoasă. Nervii tuturor învelișurilor posibile aproximează într-un anumit sens spațiul X și, pornind de la grupele lor de omologie și coomologie, se pot obține, trecând la limita corespunzătoare, grupele de omologie și coomologie ale lui X. Această idee stă la baza aproape tuturor construcțiilor. a teoriei omologiei generale. Aproximarea unui spațiu topologic de către nervii învelișurilor sale deschise joacă, de asemenea, un rol important în teoria generală. 5. Topologia varietatilor Un spațiu topologic paracompact Hausdorff este numit o varietate topologică n-dimensională dacă este „local euclidian”, adică dacă fiecare dintre punctele sale are o vecinătate (numită vecinătate de coordonate sau hartă) homeomorfă spațiului topologic. Punctele din această vecinătate sunt date de n numere x1, ┘, xn, numite coordonate locale. La intersecția a două hărți, coordonatele locale corespunzătoare sunt exprimate una în termenii altora prin intermediul anumitor funcții numite funcții de tranziție. Aceste funcții definesc un homeomorfism de mulțimi deschise în, numit homeomorfism de tranziție. Suntem de acord să numim un homeomorfism arbitrar între mulțimi deschise din ═ un t-homeomorfism. Un homeomorfism care este un izomorfism liniar pe bucăți va fi numit p-homeomorfism, iar dacă este exprimat prin funcții netede (diferențiabile de orice număr de ori), ≈ s-homeomorfism. Fie a = t, p sau s. O varietate topologică este numită a-varietate dacă acoperirea sa de diagrame este aleasă astfel încât homeomorfismele de tranziție pentru oricare două dintre diagramele sale (în intersectare) să fie a-homeomorfisme. O astfel de acoperire definește o structură a pe o varietate topologică X. Astfel, o varietate t ≈ este orice varietate topologică, varietățile p sunt numite varietăți liniare pe bucăți. Fiecare varietate liniară pe bucăți este un poliedru. În clasa tuturor poliedrelor, varietățile liniare în bucăți n-dimensionale sunt caracterizate prin faptul că oricare dintre punctele lor are o vecinătate izomorfă liniar în bucăți cu cubul n-dimensional. Varietățile s sunt numite varietăți netede (sau diferențiabile). O mapare a unei varietăți a se numește o mapare continuă arbitrară pentru a = t, o mapare liniară arbitrară pe bucăți pentru a = s ≈, o mapare netedă arbitrară pentru a = s ≈, adică o mapare continuă scrisă în local coordonate prin funcții netede. O mapare a unu-la-unu, a cărei inversă este și o mapare a, se numește a-homeomorfism (pentru a = s și difeomorfism), a-varietățile X și Y sunt numite a-homeomorfism (pentru a = s ≈ difeomorf) dacă există cel puțin un a-homeomorfism X ╝ Y. Subiectul teoriei a-varietăților este studiul a-varietăților și a-hărților lor; aici se presupune că varietățile a-homeomorfe sunt aceleași. Teoria s-varietăților este o parte a T liniar pe bucăți. Teoria s-varietăților se mai numește și T neted. Principala metodă a teoriei varietăților moderne este de a reduce problemele sale la probleme de T algebric. pentru unele spații topologice construite corespunzător. Această strânsă legătură între teoria varietăților și teoria algebrică a făcut posibilă, pe de o parte, rezolvarea multor probleme geometrice dificile și, pe de altă parte, a stimulat puternic dezvoltarea teoriei algebrice în sine.Exemple de varietăți netede sunt n- suprafețe dimensionale în , care nu au puncte singulare. Se dovedește (teorema de încorporare) că orice varietate netedă este difeomorfă la o astfel de suprafață (pentru N ³ 2n + 1). Un rezultat similar este valabil și pentru a = t, p. Fiecare p-varietate este o t-varietate. Se pare că pe orice varietate s se poate introduce o structură p (numită de obicei o triangulație Eighthead) într-un mod natural. Putem spune că orice a-varietate unde a = p sau s este o a▓-varietate unde a▓ = t sau p. Răspunsul la întrebarea inversă: pe care a▓-varietăți poate fi introdusă o structură a (o astfel de a▓-varietate pentru a▓ = p se numește netezire, iar pentru a▓ = t ≈ triangulată), iar dacă este posibil, cat de mult? ≈ depinde de dimensiunea n. Există doar două varietati topologice unidimensionale: cercul S1 (varietatea compactă) și linia dreaptă ═ (varietatea necompactă). Pentru orice a = p, s, există o structură a unică pe t-varietățile S1 și ═. În mod similar, pe orice varietate (suprafață) topologică bidimensională există o structură a unică și toate suprafețele conectate compacte pot fi descrise cu ușurință (pot fi descrise și suprafețele conectate necompacte, dar răspunsul este mai complex). Pentru ca suprafețele să fie homeomorfe, este suficient ca acestea să fie echivalente homotopic. Mai mult, tipul de homotopie al oricărei suprafețe este caracterizat în mod unic prin grupările sale de omologie. Există două tipuri de suprafețe: orientabile și neorientabile. Orientabilii includ sfera S2 și torul T2. Fie Х și Y ≈ două varietati a n-dimensionale conectate. Să tăiem o minge în X și Y (pentru n = 2 ≈ disc) și să lipim sferele de limită rezultate (pentru n = 2 ≈ cercuri). Cu unele precauții evidente, rezultatul este din nou o varietate a. Se numește suma conexă a a-varietăților X și Y și se notează cu X#Y. De exemplu, T2#T2 arată ca un covrig. Sfera S n este zero al acestei adunări, adică S n#X = X pentru orice X. În special, S2#T2= T2. Se dovedește că o suprafață orientabilă este homeomorfă la o sumă conexă de forma S2#T2#┘#T2, iar numărul p de termeni din T2 se numește genul suprafeței. Pentru o sferă p = 0, pentru un tor p = 1 etc. e. O suprafață din genul p poate fi vizualizată ca o sferă de care sunt lipite p „mânere”. Fiecare suprafață neorientabilă este homeomorfă la suma conexă P2# 0 #P2 a unui număr de planuri proiective P2. Poate fi considerată ca o sferă de care sunt lipite mai multe benzi Möbius. Pe fiecare 3-varietate topologică, pentru orice a = p, s, există, de asemenea, o structură a unică și toate tipurile de 3-variete topologice pot fi descrise (cu toate acestea, grupurile de omologie nu mai sunt suficiente pentru aceasta). În același timp, până în prezent (1976) nu au fost descrise toate varietățile topologice tridimensionale (cel puțin compacte conectate) de un anumit tip de homotopie. Acest lucru nu se face nici măcar pentru varietati pur și simplu conectate (toate sunt echivalente homotopic cu sfera S 3). Conjectura Poincaré afirmă că orice astfel de varietate este homeomorfă pentru S 3. Pentru varietățile topologice cu patru dimensiuni (compacte și conectate), problema existenței și unicității structurilor a (a = p, s) nu a fost încă rezolvată, iar tipul lor de homotopie este descris numai sub ipoteza unei simple conexiuni. Nu se știe dacă analogul conjecturii Poincare este valabil pentru ei. Este remarcabil că pentru varietăți topologice compacte și conectate de dimensiunea n ³ 5 situația se dovedește a fi complet diferită: toate problemele principale pentru acestea pot fi considerate rezolvate în principiu (mai precis, reduse la probleme de teorie algebrică). Orice colector neted X este încorporat ca o suprafață netedă (n-dimensională) în; iar vectorii tangenți la X constituie o nouă varietate netedă TX, care se numește mănunchiul tangent al unei varietăți netede X. În general, un pachet vectorial peste un spațiu topologic X este un spațiu topologic E pentru care o mapare continuă p: E ╝ X este dat astfel încât pentru fiecare punct x Î X preimaginea v (stratul) este un spațiu vectorial și există o acoperire deschisă (Ua) a lui X astfel încât pentru orice a preimaginea p≈1(Ua) este homeomorfă cu produsul Ua ` , și există un homeomorfism p≈1(Ua) ╝ Ua ` , mapând liniar fiecare strat p≈1(x), x О Ua, pe spațiul vectorial (х) ` . Pentru E = TX, maparea continuă p asociază cu fiecare vector tangent punctul său de tangență, astfel încât stratul p≈1(x) va fi tangenta spațiului la X în punctul x. Rezultă că orice mănunchi de vectori peste un spațiu compact X definește un element al grupului KO(X). Astfel, în special, pentru orice colector X neted, compact și conectat, grupul KO(X) are un element corespunzător mănunchiului tangent. Se numește invariantul tangențial al unei varietăți netede X. Există un analog al acestei construcții pentru orice a. Pentru a = p, rolul grupului KO(X) este jucat de un alt grup, care este notat cu KPL(X), iar pentru a = t, rolul acestui grup este jucat de grupul, notat cu KTop (X). Fiecare a-varietate X definește în grupul corespunzător [KO(X), KPL(X) sau KTop(X)] un element numit invariantul său a-tangențial. Există homomorfisme naturale KO(X) ╝ KPL(X) ╝ KTop(X), și se dovedește că pe un n-dimensional (n ³ 5) compact și conectat a"-varietate X, unde a" = t, p , atunci abia atunci putem introduce o structură a (a = p dacă a "= t și a = s dacă a" = p) când invariantul său "-tangențial se află în imaginea grupului corespunzător. Numărul de astfel de structuri este finită și egală cu numărul de elemente ale unei mulțimi de factori a mulțimii, unde Ya ≈ un spațiu topologic special construit (pentru a = s, spațiul topologic Ya este de obicei notat cu simbolul PL/O, iar pentru a = p ≈ prin simbolul Top/PL).Astfel, problema existenței și unicității structurii a- se reduce la o anumită problemă în teoria homotopiei.Tipul de homotopie a spațiului topologic PL/O este destul de complicat și nu a fost încă calculat complet (1976), dar se știe că pi(PL/O) = 0 pentru i £ 6, ceea ce implică faptul că orice varietate liniară pe bucăți de dimensiunea n £ 7 este netezibilă, iar pentru n £ 6 este unică. și, în sfârșit, tipul de homotopie al spațiului topologic Top/PL s-a dovedit a fi surprinzător de simplu: acest spațiu este homotopie echivalent cu K(ℤ2, 3). În consecință, numărul de structuri liniare pe bucăți dintr-o varietate topologică nu depășește numărul de elemente ale grupului H 3(X, ℤ2). Astfel de structuri există cu siguranță dacă H 4(X, ℤ2) = 0, dar pentru H 4(X, ℤ2) ¹ 0 este posibil să nu existe o structură liniară pe bucăți. În special, există o structură liniară unică pe bucăți pe sfera S n. Pot exista multe structuri netede pe sfera S n, de exemplu, există 28 de structuri netede diferite pe S 7 . Pe torul T n (produsul topologic al n instanțe ale cercului S 1) există pentru n ³ 5 multe structuri liniare pe bucăți diferite, toate care admit o structură netedă. Astfel, începând de la dimensiunea 5, există varietăți netede homeomorfe, dar nu difeomorfe; sfere cu această proprietate există pornind de la dimensiunea 7. Este firesc să se rezolve problema descrierii (până la un a-homeomorfism) a tuturor n-dimensionale (n ³ 5) a-varietăți compacte conectate în două etape: pentru a găsi condiții pentru echivalența homotopică a varietăților a și condițiile a-homeomorfisme ale varietăților a echivalente homotopic. Prima problemă ține de homotopia T. și poate fi considerată complet rezolvată în cadrul acesteia. A doua problemă este, de asemenea, în esență complet rezolvată (cel puțin pentru a-varietățile simple conectate). Baza soluției sale este transferul la dimensiuni mai mari a tehnicii de „descompunere a mânerului”. Folosind această tehnică, de exemplu, pentru varietăți topologice n-dimensionale (n ³ 5), se poate demonstra conjectura Poincaré (o varietate topologică compactă conexă echivalentă homotopic cu o sferă este homeomorfă cu aceasta). Alături de a-varietățile, se pot considera așa-numitele a-varietăți cu graniță; ele se caracterizează prin faptul că vecinătățile unora dintre punctele lor (constituind granița) sunt a-homeomorfe semispațiului Xn ³ 0 al spațiului. Granița este o varietate a (n≈1)-dimensională (în general, deconectată). Două varietati a compacte n-dimensionale X și Y se numesc (co)bordante dacă există o varietate a compactă (n+1)-dimensională cu granița W, astfel încât granița sa este uniunea unor varietăți netede disjunse a-homeomorfe cu X și Y Dacă hărțile de încorporare X ╝ W și Y ╝ W sunt echivalențe de homotopie, atunci se spune că varietățile netede sunt h-cobordante. Folosind metode de descompunere cu mâner, se poate dovedi că, pentru n ³ 5, varietatile a compacte pur și simplu conectate sunt a-homeomorfe dacă sunt h-cobordante. Această teoremă h-cobordism oferă cea mai puternică modalitate de a stabili că a-varietățile sunt a-homeomorfe (în special, conjectura Poincaré este o consecință a acesteia). Un rezultat similar, dar mai complicat, este valabil și pentru varietatile a neconectate simplu. Mulțimea ═claselor de a-varietăți compacte cobordante este un grup comutativ în ceea ce privește operarea unei sume conexe. Zeroul acestui grup este clasa a-varietăților care sunt muchii, adică cobordante cu zero. Se pare că pentru a = s acest grup este izomorf cu grupul de homotopie p2n+1MO (n+1) al unui spațiu topologic MO (n+1) special construit, numit spațiu Thoma. Un rezultat similar este valabil pentru a = p, t. Prin urmare, metodele teoriei algebrice fac posibilă, în principiu, calcularea grupului. În special, se dovedește că grupul ═este o sumă directă a grupurilor ℤ2 în valoare egală cu numărul de partiții ale numărului n în sume diferite de numerele de forma 2m≈

De exemplu, = 0 (deci fiecare varietate netedă compactă tridimensională este o limită). Dimpotrivă, ═= ℤ2, astfel încât să existe suprafețe cobordante între ele și nu cobordante cu zero; o astfel de suprafață, de exemplu, este planul proiectiv P

M. M. Postnikov.

6. Principalele etape în dezvoltarea topologiei

Rezultate separate de natură topologică au fost obținute încă din secolele al XVIII-lea și al XIX-lea. (Teorema lui Euler asupra poliedrelor convexe, clasificarea suprafețelor și teorema lui Jordan că o dreaptă simplă închisă situată într-un plan împarte planul în două părți). La începutul secolului al XX-lea se creează un concept general de spațiu în T. (metric ≈ M. Frechet, topologic ≈ F. Hausdorff), apar ideile inițiale ale teoriei dimensiunii și se demonstrează cele mai simple teoreme privind mapările continue (A. Lebesgue, L. Brouwer). ), se introduc poliedre (A. Poincaré) și se determină așa-numitele numere Betti ale acestora. Primul sfert al secolului XX culminează cu înflorirea matematicii generale și crearea școlii topologice de la Moscova; se pun bazele teoriei generale a dimensiunii (P. S. Uryson); axiomaticii spațiilor topologice i se dă forma sa modernă (P. S. Aleksandrov); se construiește o teorie a spațiilor compacte (Aleksandrov, Uryson) și se demonstrează o teoremă asupra produsului lor (A. N. Tikhonov); sunt date pentru prima dată condițiile necesare și suficiente pentru metrizabilitatea unui spațiu (Aleksandrov, Uryson); introduce (Aleksandrov) noţiunea de acoperire local finită [pe baza căreia, în 1944, J. Dieudonné (Franţa) a definit spaţiile paracompacte]; sunt introduse spații complet regulate (Tikhonov); este definit conceptul de nerv și astfel se întemeiază teoria generală a omologiei (Aleksandrov). Sub influența lui E. Noether, numerele Betti sunt recunoscute ca rânduri ale grupurilor de omologie, care sunt, prin urmare, numite și grupuri Betti. L. S. Pontryagin, pe baza teoriei sale a caracterelor, demonstrează legile dualității pentru mulțimile închise.

În al 2-lea sfert al secolului al XX-lea. dezvoltarea teoriei generale și a teoriei omologiei continuă: A. Stone (SUA) și E. Cech introduc așa-numita piatră ≈ cehoviană, sau extinderea maximă, (bi)compactă, a unui spațiu complet regulat în dezvoltarea lui Tikhonov. idei; Sunt definite grupuri de omologie ale spațiilor arbitrare (cehă), se introduce multiplicarea în grupuri de coomologie (J. Alexander, A. N. Kolmogorov) și se construiește un inel de coomologie. La acea vreme, în teoria algebrică domnea metodele combinatorii, bazate pe luarea în considerare a schemelor simple; prin urmare, teoria algebrică este uneori și încă se numește teorie combinatorie.Se introduc spațiile de proximitate și spațiile uniforme. Teoria homotopiei începe să se dezvolte intens (H. Hopf, Pontryagin); Sunt definite grupuri de homotopie (V. Gurevich, SUA), iar pentru a le calcula sunt folosite considerațiile unei topografii netede (Pontriagin). Sunt formulate axiomele grupărilor de omologie și coomologie (N. Steenrod și S. Eilenberg, SUA). Apare teoria fasciculelor (H. Whitney, SUA; Pontryagin); sunt introduse spații celulare (J. Whitehead, Marea Britanie).

În a doua jumătate a secolului al XX-lea. în URSS se conturează școala sovietică de teorie generală și teoria omologiei: se lucrează la teoria dimensiunilor, problema metrizării, teoria extensiilor (bi)compacte și teoria generală a mapărilor continue (factoriale, deschise, etc.). și închis), în special, teoria absolutelor; teoria așa-numiților invarianți cu valori cardinale (A.V. Arkhangel'skii, B.A. Pasynkov, V.I. Ponomarev, E.G. Sklyarenko, Yu.M. Smirnov și alții).

Prin eforturile unui număr de oameni de știință (J. P. Serre și A. Cartan în Franța, M. M. Postnikov în URSS, Whitehead și alții), teoria homotopiei prinde în sfârșit contur. În acest moment, au fost create centre mari de matematică algebrică în SUA, Marea Britanie și alte țări; Interesul pentru geometria geometrică este reînnoit.Se creează teoria fasciculelor vectoriale și a functorului K (M. Atiyah, Marea Britanie; F. Hirzebruch, Germania de Vest), geometria algebrică este utilizată pe scară largă în geometria netedă (R. Thom, Franța) și geometrie algebrică (Hirzebruch); se dezvoltă teoria (co)bordismelor (V. A. Rokhlin, URSS; Tom, S. P. Novikov) și teoria netezirii și triangulației (J. Milnor, SUA).

Dezvoltarea tehnologiei continuă în toate direcțiile, iar domeniul de aplicare al aplicațiilor sale este în continuă expansiune.

A. A. Maltsev.

═Lit.: Aleksandrov P.S., Introducere în teoria generală a mulțimilor și funcțiilor, M.≈L., 1948; Parkhomenko A.S., Ce este o linie, M., 1954; Pontryagin L. S., Fundamentele topologiei combinatorii, Moscow≈L., 1947; propriul său, Grupuri continue, ed. a III-a, M., 1973; Milnor J., Wallace A., Topologie diferențială. Curs elementar, trad. din engleză, M., 1972; Steenrod N., Chinn W., Primele concepte de topologie, trad. din engleză, M., 1967; P. S. Aleksandrov, Topologie combinatorie, Moscow≈L., 1947; Alexandrov P. S., Pasynkov B. A., Introducere în teoria dimensiunii. Introducere în teoria spațiilor topologice și teoria generală a dimensiunii, M., 1973; Alexandrov P. S., Introducere în teoria dimensiunii omologice și topologia combinatorie generală, Moscova, 1975; Arkhangelsky A. V., Ponomarev V. I. Fundamentele topologiei generale în probleme și exerciții, M., 1974; Postnikov M. M., Introducere în teoria lui Morse, M., 1971; Bourbaki N., Topologie generală. Structuri de bază, trad. din franceză, Moscova, 1968; lui, Topologie generală. Grupuri topologice. Numere și grupuri și spații aferente, trad. din franceză, Moscova, 1969; lui, Topologie generală. Utilizarea numerelor reale în topologia generală. spatii functionale. Rezumatul rezultatelor. Dicţionar, trans. din franceză, Moscova, 1975; Kuratovsky K., Topologie, trad. din engleză, vol. 1≈2, M., 1966≈69; Leng S., Introducere în teoria varietăților diferențiabile, trad. din engleză, M., 1967; Spanier E., Topologie algebrică, trad. din engleză, M., 1971.

Topologie (dezambiguizare)

Topologie:

• Topologia este o ramură a matematicii care studiază fenomenul continuității în forma sa cea mai generală.
• Topologia este un sistem de mulțimi utilizat în definirea unui spațiu topologic.
• Topologia rețelei - o diagramă a locației și conexiunii dispozitivelor de rețea.

Exemple de utilizare a cuvântului topologie în literatură.

Pontryagin, ale cărui eforturi au creat o nouă ramură a matematicii - algebra topologică - studiind diferite structuri algebrice înzestrate cu topologie.

Și nu se poate înțelege histologia fără hidrologie, hidrologie fără geologie, geologie fără geografie, geografie fără topografie, topografie fără topologieși toate împreună fără omneologie, și omneologie - fără tabele.

Nu am înțeles histologia, nu am înțeles hidrologia, hidrografia, geografia, topografia, topologie.

În general, această abordare presupune documentarea rețelei topologie, programe de aplicație și protocoale utilizate.

Așa că a continuat, folosind termeni din ce în ce mai complicati, referindu-se la topologie spiritul și geometria realizărilor și intuițiilor, conturând elementele ontografiei endoscopice, climatizarea vieții emoționale, nivelurile acesteia, extreme, suișuri și coborâșuri, precum și coborâri ale spiritului, și a vorbit atât de mult încât a fost răgușit, iar regele avea dureri de cap.

Carduri topologie rutarea corespondenței este utilă pentru rezolvarea problemelor legate de transferul de corespondență între servere.

De asemenea, sperăm să vedem o bibliotecă de soluții de nivel superior care sortează răspunsurile pe baza informațiilor despre topologie, care există doar pe gazda clientului.

Aceasta înseamnă că rețeaua topologie iar segmentarea devine un factor important de securitate.

La urma urmei, în esență, orice teorie se reduce la topologie imagini, iar orice ontologie nu este altceva decât un complex deductiv de imagini universale legate inductiv de realitatea empirică.

A crea topologie servere la distanță, mai întâi determinați bazele de date pe care stațiile de lucru și serverele le vor accesa cel mai frecvent.

Și anume, în lumea continuumului topologie conexiunile sale interne permit constituirea unui mediu în care intersubiectivitatea devine o funcție a distribuției raționalităților în cadrul acesteia.

Adică, potrivit obiectivistului topologie lume corpusculară, problema intersubiectivității este rezolvată în ea cu ajutorul unui mediator intersubstanțial.

Este vorba despre unii topologii spații care se încadrează unul în celălalt, se rotesc unul în celălalt, așa cum apar sub diferite aspecte sau litere alternative în monograma unei ferestre.

Cu toate acestea, în organizațiile mici, acest lucru topologie garanții actualizare rapida date.

Din moment ce faci planuri topologie, Trebuie să luați în considerare și topologie traficul de corespondență și replicări.

Termenul „topologie” are multe semnificații, dintre care unul este folosit în lumea computerelor pentru a descrie rețelele. Ce este topologia în continuare și va fi luat în considerare. Dar, privind un pic înainte, în chiar caz simplu acest concept poate fi gândit ca o descriere a configurației (locației) calculatoarelor conectate la o rețea. Cu alte cuvinte, totul se rezumă la înțelegerea nici măcar a conexiunilor în sine, ci a formelor geometrice care corespund fiecărui tip de aranjament terminal.

Ce se înțelege prin topologie LAN?

După cum este deja clar, computerele care sunt combinate în rețele unice sunt conectate la ele nu aleatoriu, ci într-o ordine strict definită. Pentru a descrie această schemă, a fost introdus conceptul de topologie.

Practic, ce este topologia? Hartă, schemă, diagramă, hartă. Procesul descriptiv, așa cum este deja clar, este oarecum asemănător cu cunoștințele elementare ale geometriei. Cu toate acestea, acest termen nu poate fi considerat doar din punct de vedere pur geometric. Întrucât vorbim nu doar de conexiuni, ci și de transferul de informații, acest factor ar trebui să fie luat în considerare și în acest sens.

Principalele tipuri de rețele și topologiile acestora

În general, un singur concept topologia computerului nu exista. Este în general acceptat că pot exista mai multe tipuri de topologii care descriu colectiv o anumită organizație de rețea. De fapt, rețelele pot fi complet diferite.

De exemplu, cea mai simplă formă de organizare a conexiunii mai multor terminale de calculator într-un singur întreg poate fi numită o rețea locală. Există și tipuri intermediare de rețele (urbane, regionale etc.).

În cele din urmă, cele mai mari sunt rețelele globale, care afectează regiuni geografice mari și includ toate celelalte tipuri de rețele, precum și computerele și echipamentele de telecomunicații.

Dar ce se înțelege prin topologia unei rețele locale, ca fiind una dintre cele mai forme simple organizarea conexiunii mai multor calculatoare între ele, în acest caz?

Pe baza proceselor și structurilor descrise, acestea sunt împărțite în mai multe tipuri:

• fizic - descrierea structurii efective a locației calculatoarelor și nodurilor de rețea, ținând cont de conexiunile dintre acestea;
• logic - descrierea semnalului care trece prin rețea;
• informațional - descrierea mișcării, direcției și redirecționării datelor în cadrul rețelei;
• managementul schimburilor - o descriere a principiului utilizării sau transferului drepturilor de utilizare a rețelei.

Topologia rețelei: tipuri

Acum câteva cuvinte despre clasificarea general acceptată a tipurilor de topologii prin legături. În contextul a ceea ce este topologia, este de remarcat separat un alt tip de clasificare care descrie doar modul în care un computer se conectează la o rețea sau principiul interacțiunii sale cu alte terminale sau noduri principale. În acest caz, conceptele de topologii complet conectate și necomplet conectate devin relevante.

O structură complet conectată (și acest lucru este recunoscut în întreaga lume) este extrem de greoaie datorită faptului că fiecare terminal inclus într-o singură structură de rețea este conectat la toate celelalte. Inconvenientul în acest caz constă în faptul că pentru fiecare computer este necesar să se instaleze echipamente de comunicație suplimentare, iar terminalul în sine trebuie să fie echipat cu un număr suficient de mare de porturi de comunicație. Și, de regulă, astfel de structuri, dacă sunt utilizate, sunt extrem de rare.

O topologie neconectată complet în acest sens pare mult mai de preferat, deoarece fiecare terminal individual nu se conectează la toate celelalte computere, ci primește sau transmite informații prin anumite noduri de rețea sau accesează direct la un hub sau hub central. Un exemplu izbitor în acest sens este topologia rețelei în stea.

Deoarece vorbim despre principalele metode de combinare a terminalelor într-un singur întreg (rețea), ar trebui să ne oprim asupra topologiilor principale ale tuturor tipurilor principale, printre care cele principale sunt „autobuz”, „stea” și „ring”, deși există unele tipuri mixte.

Topologia rețelei „autobuz” (autobuz)

Acest tip de rețea de terminale este destul de popular, deși are dezavantaje foarte serioase.

Puteți lua în considerare pe ce se află o topologie de magistrală exemplu simplu. Imaginați-vă un cablu cu mai multe robinete pe fiecare parte. La capătul fiecărei astfel de ramuri se află un terminal de computer. Ele nu sunt conectate direct între ele, iar informațiile sunt primite și transmise printr-un singur trunchi, la ambele capete ale căruia sunt instalate terminatoare speciale care împiedică reflectarea semnalului. Aceasta este o topologie de rețea liniară standard.

Avantajul unei astfel de conexiuni este că lungimea trunchiului principal este redusă semnificativ, iar defecțiunea unui singur terminal nu afectează funcționarea rețelei în ansamblu. Principalul dezavantaj este că, în cazul încălcărilor în funcționarea coloanei vertebrale în sine, întreaga rețea se dovedește a fi inoperabilă. In plus, topologia "bus" este limitata in numarul de statii de lucru conectate si are o performanta destul de scazuta datorita distributiei resurselor intre toate terminalele din retea. Distribuția poate fi uniformă sau neuniformă.

Topologie „stea” (stea)

Topologia rețelei „stea” într-un sens seamănă cu o „autobuz”, singura diferență fiind că toate terminalele sunt conectate nu la o singură coloană vertebrală, ci la un dispozitiv central de distribuție (hub, hub).

Doar prin hub, toate computerele pot interacționa între ele. Informațiile sunt transmise de la hub către toate dispozitivele, dar sunt primite doar de cele cărora le sunt destinate. Avantajele unei astfel de conexiuni includ posibilitatea de gestionare centralizată a tuturor terminalelor de rețea, precum și conectarea unora noi. Cu toate acestea, ca și în cazul „autobuzului”, defecțiunea dispozitivului central de comutare este plină de consecințe pentru întreaga rețea.

Topologie „ring” (inel)

În cele din urmă, avem un alt tip de conexiune - topologia inel a rețelei. După cum probabil reiese deja din nume, computerele sunt conectate secvenţial de la unul la altul prin noduri intermediare, în urma cărora se formează un cerc vicios (în mod firesc, un cerc în acest caz este un concept condiționat).

În timpul transmisiei, informațiile de la punctul de plecare trec prin toate terminalele care se află în fața destinatarului final. Dar recunoașterea beneficiarului final se bazează pe accesul cu simboluri. Adică numai terminalul marcat în fluxul de informații primește informații. O astfel de schemă nu este practic utilizată niciodată din cauza faptului că defecțiunea unui computer implică automat o întrerupere a funcționării întregii rețele.

Topologie mesh și mixtă

Acest tip de conexiuni poate fi obținut prin eliminarea unor conexiuni din conexiunile de mai sus sau adăugarea lor suplimentară. În cele mai multe cazuri, această schemă este utilizată în rețelele mari.

În acest sens, pot fi definite mai multe derivate de bază. Cele mai frecvente sunt scheme precum „inel dublu”, „copac”, „zăbrele”, „fulg de zăpadă”, „Închidere rețea”, etc. După cum puteți vedea chiar și din nume, toate acestea sunt variații pe tema principalului tipuri de conexiuni, care sunt luate pentru bază.

Există, de asemenea, un tip mixt de topologie, care poate combina mai multe altele (subrețele), grupate în funcție de unele trăsături caracteristice.

Concluzie

Acum, probabil, este clar ce este topologia. Dacă obținem un rezultat general, acest concept este o descriere a modului în care computerele sunt conectate la o rețea și a modului în care interacționează. Cum se face acest lucru depinde numai de metoda de combinare a terminalelor într-unul singur. Și să spunem că astăzi este imposibil să evidențiem orice opțiune de conectare universală. In fiecare caz concret si in functie de necesitati se poate folosi unul sau altul tip de conexiune. Dar în rețele locale, vorbind în mod specific despre ele, cea mai comună este schema „stea”, deși „anvelopa” este încă folosită destul de larg.

Rămâne de adăugat că în puteți găsi și conceptele de centralizare și descentralizare, dar acestea sunt în mare parte asociate nu cu conexiuni, ci cu sistemul de management al terminalelor de rețea și controlul asupra acestora. Centralizarea este exprimată clar în conexiuni stea, dar descentralizarea este aplicabilă și pentru acest tip, oferind introducerea unor elemente suplimentare pentru a crește fiabilitatea rețelei atunci când comutatorul central se defectează. O dezvoltare destul de eficientă în acest sens este schema „hipercubului”, dar este foarte greu de dezvoltat.