В системе IS95c (CDMA-2000-1x) используется технология множественного доступа с кодовым разделением (см ПСП и характеристики), благодоря применения этой технологии способ адресации каналов, мобильных и базовый станций в системе реализуется так же с применением кодов особым образом. Для объяснения принципов реализованных в данной системе в данном разделе сперва будут объяснены некоторые технические понятия, а после этого будут подробно рассмотрены вопросы адресации.

Конфигурация радиоканала

Конфигурация радиоканала (Radio configuration - RC) определяет конфигурацию физических каналов, базирующуюся на удельной скорости передачи данных. Каждая RC определяет набор скоростей данных, в основе которых лежат скорости 9.6 или 14.4 кбит/с. Они - две существующих скорости передачи данных, поддерживаемые IS95c. Каждая RC также определяет ширину спектра (sprading rate SR1) и тип кодирования. В настоящее время есть пять конфигураций радиоканала, определенных в cdma2000-1x для прямого канала, и три для обратного.

Spreading Rate: чиповая скорость (скорость следования элементарных сигналов псевдослучайной последовательности) прямого или обратного канала.IS95c использует SR1 (Spreading Rate 1) : То же самое, что и “1XRTT.” Прямой и обратный канал CDMA использует прямое расширение спектра псевдослучайной последовательностью c чиповой скорости 1.2288 МГц.

RC2 -конфигурация, базирующаяся на скорости 14.4 кбит/с также поддерживаются скорости 9.6, 4.8, 2.4 и 1.5 кбит/с для голоса работает в SR1 n=9 R=1/2.

RC3 -конфигурация, базирующаяся на скорости 9.6 кбит/с также поддерживаются скорости 4.8, 2.7, и 1.5 кбит/с для голоса, в то время как для данных применяются потоки с конфигурациями канализирующего кода - поддерживая скорости 19.2, 38.4, 76.8, и 153.6 кбит/с и работает в SR1 и использует канальное кодирование с параметрами n=9 R=1/2.

RC4 -конфигурация для передачи данных применяются потоки с изменением канализирующего кода - поддерживая скорости 9.6, 19.2, 38.4, 76.8, 153.6 и 307.2 кбит/с и работает в SR1 и использует турбо-коды.

RC5 - используется только для передачи данных применяются потоки с конфигурациями канализирующего кода - поддерживая скорости 14.4, 28.8, 57.6, 115.2 и 230.4 работает в SR1 использует спец. кодирование и благодаря стандартизованному ряду скоростей является наиболее предпочтительной конфигурацией для передачи данных.

Radio configuration	Конфигурация к.к.	Скоростная формула,кбит/с
	сверт. код R=1/2, k=9
	сверт. код R=1/2, k=9
	сверт. код R=1/2, k=9
	турбо-коды
	спец. кодирование

Таблица 1. Список конфигураций радиоканала в прямом направлении.

Так же конфигурация RC определяет режим работы радиопередаюшего тракта, например режим RC3 использует новый метод модуляции см. рис 1,а режим RC1 является полностью совместимым с ССС IS95a см. рис 1 .

Рис. 1. Модулятор используемый при конфигурации радиоканала RC3

В данном разделе мы будем рассматривать систему в режиме RC1.

Коды используемые в системе IS-95c.

В ССМС используется три типа кодов короткая и длинные м-последова- тельности и коды уолша.

Короткая ПСП

Коротка псп представляет из себя две псевдослучайные скремблирующие последовательности ПСП - I и ПСП - Q (символы I и Q отвечают физическому назначению и обозначают синфазную и квадратурную составляющим в модуляторе). Период каждой из названных ПСП содержит 215 чипов, частота следования которых согласно стандарту составляет 1,2288 Мчип / с. Прямой подсчет показывает, что на одном двухсекундном отрезке умещается в точности 75 периодов коротких ПСП . Структурно короткие ПСП представляют собой М - последовательности длины

N = 2 -1 с характеристическими полиномами

f i = x 15 + х 13 + х 9 + х 8 + х 7 + х 5 +1 и

f Q = X 15 + X 12 + X 11 + X 10 + X 6 + X 5 + X 4 + X 3 +1,

расширенные добавлением нулевого символа к цепочке из 14 последовательных нулей на каждом периоде .

Длинная ПСП

Символы длинной ПСП имеют частоту следования 1,2288 Мчип/с. Формирование длинной ПСП осуществляется с помощью полинома

f ( x ) = х 42 + х 35 + х 33 + х 31 + х 27 + х 26 + х 25 + х 22 + х 21 + х 19 + + X 18 + X 17 + X 16 + X 10 + X 7 + X 6 + X 5 + X 3 + X 2 + X + 1.

Коды Уолша

Коды Уолша использованые в системе ообозначаются как: W n N , где N - длина кода, n - ряд в матрице Уолша-Адамара. Эта матрица строится итерационным алгоритмом (см. Рис 2.). На каждой итерации любое кодовое слово, полученное на предедущем шаге, преобразуется в два новых удвоением длинны путем двухкратного повторения в одном слове и повторения с изменением знака в другом. Так если C k , некое слово, полученное на к-ом шаге его "потомками" на k+1-м шаге будут слова вида (C k ,C k),(C k ,-C k), таким образом стартуя с тривиального слова длины 1, равного 1, за k итераций можно получить 2 k кодовых векторов длины N=2 k ортогональность которых очевидна (см. Рис 2.).

Рис.2 Дерево канализирующих кодов.

Используя указанный метод, можно создать код Уолша, размерность которого равна 2 k х 2 k (k - положительное целое число). Набор кодов Уолша характеризуется матрицей 64 x 64(RC1) или 128 х 128(RC3), где каждая строка соответствует отдельному коду. Поскольку элементы набора кодов Уолша взаимно ортогональны, их применение позволяет разделить прямой канал связи на 64(RC1) или 128(RC3) ортогональных сигналов.

Адресация в прямом канале

Рис. 3. Структурная схема канала в прямом направлении

Адресация каналов.

Прямой канал cdma2000-1x для сохрания совместимости с IS95a, использует ту же самую структура для пилот-сигнала в прямом канале (F-Pilot), канала синхронизации (F-Sync) и сигнализации (F-Paging).

Так же в CDMA2000-1x каждому пользователю назначен свой прямой канал трафика (F-Traffic), в который могут входить:

Восемь дополнительных каналов (F-SCCHs) для RC1 и RC2;

Три дополнительных канала (F-SCHs) для RC3 к RC9;

Два выделенных канала управления (F-DCCHs);

F-FCHs используются для передачи голоса, F-SCCHs , и F-SCHs используются для передачи данных. Базовая приемопередающая станция может также послать нулевой или первый F-DCCHs . F-DCCH связан с каналами трафика (или с FCH и SCH , или с SCCH) и может содержать данные сигнализации и данные регулирования мощности излучения.

В данном пособии рассмотрим подробнее основные каналы:

• пилотный канал (f-pilot channel);

• канал синхронизации (f-synchronization channel);

• канал персонального вызова (f-paging channel );

• канал прямого трафика (forward traffic channel).

В режиме RC1 отображение логических каналов на физические в прямом направлении осуществляется с помощью системы ортогональных функций Уолша длины 64: w i , i = 0,1,..., 63, где i - номер функции Уолша. Стандартом CDMA-2000 предусматривается организация одного пилотного канала, одного канала синхронизации, от одного до семи каналов вызова (в зависимости от абонентской нагрузки на БС) и от 55 до 62 каналов прямого трафика, поскольку часть каналов вызова допускается использовать в качестве каналов трафика. Соответствие между логическими и физическими каналами показано на рис. 4.

Рис. 5. Структура прямого канала ССМС стандарта CDMA-2000-1х

В режиме RC3 отображение логических канал на физические осуществляется так же как и в RC1 с той лишь разницей, что благодаря применению квадратурной фазовой модуляции количество применяемых кодов Уолша увеличено с 64 до 128 - соответсвенно количество возможных адрресуемых каналов увеличено в двое по сравнению с режимом RC1.

1. Пилотный канал

Согласно рис. 5 пилотному каналу присвоена нулевая функция Уолша w 0 , т. е. последовательность из одних нулей.

2. Канал синхронизации

После блокового перемежителя поток данных подвергается прямому расширению спектра путем сложения по модулю 2 с присвоенной каналу синхронизации функцией Уолша w 32 .

3. Канал персонального вызова

После скремблирования децимированной длинной ПСП периода 2 42-1 , поток данных подвергается расширению спектра так же, как это делалось для уже рассмотренных каналов: суммируется по модулю два с отведенной каналу функцией Уолша из набора W 1 - W 7 . Далее следует объединение с остальными каналами (входы Р 1 - Р 7 на рис. 2), а затем (в модуляторе) перемножение с комплексной короткой ПСП и перенос на несущую.

4. Канал прямого трафика

В качестве канальной поднесуще используется одна из последовательностей Уолша w 8 + w 31 и w 33 + w 63 с чиповой ско­ростью 1,2288 Мчип / с, причем номер последовательности Уолша однозначно определяет номер канала прямого трафика.

Адрессация базовых станций.

Пара ПСП - I и ПСП - Q или, что эквивалентно, комплексная ПСП. Данная комплексная короткая ПСП одинакова для всех 64 CDMA - каналов и используется всеми БС системы, но с разными циклическими сдвигами. Разница в циклических сдвигах позволяет МС разделять сигналы, излучаемые БС разных сот или секторов, т. е. позволяет идентифицировать номер БС либо сектора. Для различных БС сдвиг изменяется с постоянным шагом, равным 64 чип х PILOT _ INC , где системный параметр PILOT _ INC принимает значения от 1 до 4 . Таким образом, при минимальном шаге доступны 2 15 /2 6 =2 9 =512 сдвигов коротких ПСП, т. е. возможно бесконфликтное существование сети, состоящей из 512 БС. Если же необходимо, чтобы сеть состояла из большего числа БС, то при территориальном планировании сети легко можно добиться, чтобы БС с одинаковыми циклическими сдвигами коротких ПСП не могли одновременно находиться в зоне радиовидимости МС.

С другой стороны, шаг сдвига ПСП однозначно определяет размер соты (или сектора), при котором МС с гарантией различает ПСП, имеющие минимальный временной сдвиг. Нетрудно убедиться, что при минимальном сдвиге в 64 чипа радиус соты составит порядка 15,5 км.

Адресация в обратном канале

В обратном канале (линии "вверх")

Канал доступа {access channel);

Канал обратного трафика (reverse traffic channel).

Асинхронность кодового разделения делает нерациональным применение функций Уолша в роли каналообразующих последовательностей (сигнатур) физических каналов, так как при относительных временных сдвигах они не могут сохранять ортогональность и имеют весьма непривлекательные взаимные корреляционные свойства. Поэтому за разделение каналов в линии "вверх" отвечают различные циклические сдвиги длинной ПСП периода 2 42 -1. Функции Уолша в обратном канале также используются, но в ином качестве: для организации еще одной ступени помехоустойчивого кодирования данных, передаваемых МС.

Общая структура обратного канала связи системы IS-95с иллюстрируется на рис. 6. Каналы доступа и обратного трафика, которые используются МС, ассоциированы с определенными каналами персонального вызова. В результате на один канал персонального вызова может приходиться до n = 32 каналов доcтупа и до т = 64 каналов обратного трафика.

Рис. 6. Структура обратного канала ССМС стандарта IS-95c

1. Канал доступа

Канал доступа обеспечивает соединение МС с БС, пока МС не настроилась на назначенный ей канал обратного трафика. Процесс выбора канала доступа случаен - МС произвольно выбирает номер канала из диапазона O...ACC_CHAN, где ACC_CHAN - параметр, передаваемый БС в сообщении о параметрах доступа. Ортогональный модулятор осуществляет отображение (кодирование) групп из 6 двоичных символов в некоторую функцию Уолша длины 64. Подобная операция представляет собой кодирование 6-битовых блоков (64,6) ортогональным кодом. При оптимальном ("мягком") декодировании энергетический выигрыш от использования такого кода асимптотически стремится к 4,8 дБ (45]. В то же время во многих источниках рассматриваемую процедуру именуют ортогональной модуляцией или Уолш-модуляцией . Замена 6 символьной группы на функцию Уолша производится по следующему правилу: десятичное значение 6 разрядного двоичного числа, соответствующего группе из 6 бит, однозначно определяет номер функции Уолша. Например, если на вход ортогонального модулятора подается группа из 6 символов вида (010110), то ей соответствует десятичное значе­ние 22, а значит, эта группа заменяется модулятором на функцию Уолша w 22 , состоящую из 64 символов. В результате ортогональной модуляции скорость данных возрастает до

Поток ортогонально модулированных данных подвергается прямому расширению спектра с помощью длинной ПСП с определенным циклическим сдвигом, однозначно определяющим данную МС, что позволяет идентифицировать ее на БС, а значит, осуществить кодовое разделение абонентов. Циклический сдвиг длинной ПСП определяется маской генератора длиной 42 бита, которая конструируется из идентификатора БС, номеров канала вызова и доступа.После расширения спектра (суммирования по модулю 2 с длинной ПСП и преобразования булевых символов в двуполярные) поток, следующий со скоростью чипов, т.е. 1,2288 Мчип/с, поступает в квадратурные каналы фазового модулятора, где подвергается скремблированию двумя короткими ПСП (ПСП-I и ПСП-Q) периода 2 15 . Все МС данной соты используют один и тот же сдвиг короткой ПСП. Поскольку в обратном канале применяется квадратурная ФМ со сдвигом (OQPSK), в плече Q модулятора введен элемент задержки на половину длитель­ности чипа. Применение OQPSK уменьшает глубину нежелательных провалов огибающей сигнала, а значит, сокращает требуемый линейный динамический диапазон усилителя мощности пе­редатчика МС.

Как было сказано выше, для объединения нескольких каналов при кодовом разделении каналов необходимо, чтобы псевдослучайные коды были разделимы с помощью корреляционного фильтра. Для этого они должны достаточно различаться. Степень подобия (похожести) функций в математике отображается с помощью корреляции. Различаются взаимная корреляция - сравнение двух функций, ортогональная корреляция - при полной независимости двух функций и автокорреляция - сравнение функции с собой при сдвиге во времени.

Для дискретных функций интегрирование можно заменить суммированием.

В системах многостанционного доступа с кодовым разделением каналов применяются ортогональные функции Уолша. Одним из необходимых (но не достаточных) свойств такого кода является его сбалансированность, т. е. одинаковое число нулей и единиц.

Заметим, что при кодировании обычно символ 0 заменяется на +1, а 1 на –1.

Рассмотрим пример вычисления ортогональности полученных функций. Разберем взаимную корреляцию (без сдвига) функций и .

Согласно полученному результату эти две функции ортогональны.

Однако ортогональные функции Уолша имеют недостатки. Система должна быть синхронизирована. При сдвиге синхронизации функции корреляция увеличивается.

Для сдвинутых по времени и несинхронизированных сигналов взаимная корреляция может быть не равна нулю. Они могут интерферировать друг с другом. Вот почему кодирование с помощью функций Уолша может применяться только при синхронном CDMA .

3.1.3. Неортогональные псевдослучайные функции

Неортогональные (асинхронные) псевдослучайные функции могут быть сгенерированы с применением сдвиговых регистров , сумматоров (сложение по модулю 2) и контуров обратной связи. Рис. 3.4 иллюстрирует такой принцип.

Рис. 3.4.

Максимальная длина последовательности определяется длиной регистра и конфигурацией цепи обратной связи (на рис. 3.4 цепи обратной связи обозначены , ). Регистр длиной битов может порождать свыше различных комбинаций нулей и единиц. Так как цепь обратной связи выполняет линейные операции, то если все регистры будут иметь нулевое значение, выход цепи обратной связи также будет нулевой. Поэтому, если установить все разряды на нуль, то цепь обратной связи будет всегда давать нулевой выход для всех последующих тактовых циклов, так что необходимо исключить эту комбинацию из возможных последовательностей. Таким образом, максимальная длина любой последовательности равна . Генерируемые последовательности называются последовательностями максимальной длины , или m-последовательностями . Основное свойство таких последовательностей: автокорреляционная функция m-последовательности имеет пик при нулевом сдвиге и малый уровень боковых выбросов в остальных случаях. Это позволяет более четко выделять каналы. Конфигурации обратной связи для m-последовательности сведены в таблицу и могут быть найдены в .

Последовательности, порождаемые регистрами сдвига , имеют еще много вариантов. В частности, известны последовательности Голда, порождаемые совокупностью двух регистров, последовательности Касами, порождаемые тремя регистрами, и т. д. [ , ].

Сжатие навигационых таблиц в базисе Уолша C.B. Пашенцев

Судоводительский факультет МГТУ, кафедра судовождения

Аннотация. В работе рассмотрена возможность использования функционального базиса Уолша-Пэли для сжатия линейных и прямоугольных таблиц. Приведены все необходимые для этого формулы и на некоторых примерах продемонстрирован реальный эффект сжатия информации. Метод может использоваться как для предварительного сжатия информации, так и при ее обработке в реальном масштабе времени.

Abstract. A possibility of the using of the Wolsh-Paly functional base for the linear and rectangular tables compression has been considered in the work. All the formulas, necessary for it, are given and the actual effect of information compression has been shown on some examples. The method can be used both for preliminary compression of information, and by its processing in a real time scale.

1. Введение

В многих автоматических и автоматизированных устройствах, связанных с судовождением, используются табличные данные, занесенные в память решающих устройств и выбираемые из нее по мере надобности. При этом расходуется важнейший ресурс - память, а выборка из нее потребляет и еще более важный ресурс - время, влияя на быстродействие всей системы обработки информации. Поэтому важны любые методы, позволяющие уменьшать объем хранения. Одним из таких методов может быть метод сжатия табличной информации за счет ее спектрального разложения в некотором функциональном базисе. В момент потребления значение функции восстанавливается обратным преобразованием. По сравнению с разложением Фурье, более выгодным является использование для разложения базиса Уолша, так как для гладких функций коэффициенты разложения Уолша быстрее стремятся к нулю. Это допускает большую степень сжатия информации в базисе Уолша. Кроме того, при восстановлении табличных значений в базисе Уолша требуется меньшее время. Связано это с более простым вычислением функций Уолша сравнительно с вычислениями тригонометрических функций. Ести же эти функции генерируются аппаратно, то выгода от применения функций Уолша еще больше, так как их возможные значения +1 и -1 легко реализуются вычислительными устройствами. В работе на численных примерах показаны преимущества применения базиса Уолша для некоторых типов гладких функций и табличных данных. Вычислительный процесс строится на программах быстрых преобразований Фурье и Уолша, написанных автором, и сравнении получаемых спектров.

2. Теоретические основания сжатия

Общие теоретические положения, на основании которых производится преобразование в выбранном функциональном базисе, хорошо известны (Голд, Райдер, 1993; Трахтман А., Трахтман В., 1978). Следует выделить дискретные преобразования при конечности исходного числового ряда. Поскольку речь идет о сжатии таблиц, т.е. о принципиально конечном ряде чисел, то далее будем говорить только о дискретных преобразованиях. Если задан ряд из N чисел

X2, Xk, , XN (1)

то и функциональный базис следует выбрать из конечного набора N функций

Фа(Х), а= 1, 2,„., N, (2)

существующих на совокупности точек Xk. Тогда дискретное преобразование в этом базисе даст ровно N коэффициентов Ca, Koropbie находятся с помощью формального суммирования:

C„ = ЪкХк Фа(Хк), а= 1, 2,„„ N. (3)

Совокупность N коэффициентов Ca и составляет дискретное представление ряда чисел (1) в

функциональном базисе (2). Часто эту совокупность чисел Ca называют линейчатым спектром в выбранном базисе. Другой интерпретацией разложения (3) является рассмотрение его как линейного преобразования исходной системы координат Хк. Коэффициенты Ca становятся тогда координатами в новой координатной системе 0JX). Если спектр (набор коэффициентов Ca) известен, то породивший его ряд чисел можно восстановить с точностью до погрешностей вычислений с помощью обратного дискретного преобразования

Xk = (1/N) T.aCa0JXk), k = 1, 2,..., N. (4)

Для справедливости простых и почти симметричных преобразований (3) и (4) необходимо, чтобы набор функций базиса обладал свойствами ортогональности и определенной нормировки. Условие ортогональности выглядит как совокупность равенств

Zk Фр(Хк) Ф(Хк) = 0, р Ф q, (5)

а условия нормировки - как совокупность равенств

Zk ФрХк) Фр(Хк) = Ек Фр\Хк) = 1. (6)

Кроме того, система базисных функций называется полной, если невозможно указать более ни одной функции, которая ортогональна ко всем функциям базиса.

Очевидно, что при такой постановке вопроса никакого сжатия не происходит, так как количество членов исходного ряда и количество спектральных коэффициентов одинаково. Возможность сжатия информации появляется, если число коэффициентов спектра можно сделать меньше числа N. Например, когда часть коэффициентов спектра равна нулю или близка к нему. Тогда этими коэффициентами можно пренебречь, и полученный спектр окажется короче. В первом случае, когда мы пренебрегаем только нулевыми коэффициентами спектра, исходный ряд чисел будет восстановлен с точностью до погрешностей вычислений. Если же мы пренебрежем коэффициентами спектра, в указанной степени близкими к нулю, то восстановленные значения исходного ряда будут включать в себя не только погрешности вычислений, но и погрешности от неточного представления спектра. Чем большую погрешность восстановления членов исходного ряда мы flonyœaeM, TeM большим числом коэффициентов спектра можно пренебречь.

Если обозначить через n число коэффициентов спектра, которыми мы пренебрегли, то отношение в процентах

sq = (n / N) -100 % (7)

можно назвать степенью сжатия исходной информации. Ведь в этом случае мы представляем ее N-n коэффициентами спектра вместо N значений исходного ряда. При sq = 0 сжатие вообще не происходит, а при sq = 100 % оно достигает предельной гипотетической величины. Реальные случаи лежат в пределах от 0 % до 100 %.

Практическая сторона реализации этой идеи несколько сложнее. Если нулевыми или малыми в указанной степени являются конечные (финальные) спектральные коэффициенты, то не составляет труда отбросить n из них и тем самым добиться сжатия sq.

Если же среди коэффициентов спектра имеются нулевые или близкие к нулю в заданной степени, но они не являются финальными, то возникает сложность в представлении такого спектра с позиций сжатия информации. В этом случае надо либо приводить все коэффициенты спектра, включая нулевые и близкие к ним, и тогда сжатия не происходит. Либо задавать группы нулевых спектральных коэффициентов номером начального элемента в группе и количеством элементов группы. Это, естественно, уменьшает степень сжатия исходного ряда чисел. Если нулевые элементы спектра не являются финальными или не составляют группы, а их номера не обнаруживают простой закономерности, то сжатие информации этим путем не достигается.

Итак, возможность сжатия информации и степень ее сжатия зависят как от самого ряда чисел (1), так и от набора функций (2), составляющих базис спектрального разложения Ca. Поскольку ряд чисел Хк нам задан, то управлять степенью сжатия мы можем, изменяя базис спектрального разложения. Но при выбранном базисе Ф(х) характер заданной информации будет сказываться как на самой

возможности сжатия, так и на степени ее сжатия. Существует достаточно много функциональных базисов, которые успешно используются для различных задач представления информации. Среди наиболее известных назовем базисы степенных функции и их полиномиальные варианты в виде полиномов Чебышева и Лежандра, а также базисы Кравчука, Шарлье и Мейснера. Но наиболее знакомым нам является базис тригонометрических функций:

sin(2nax) и со s(2n«x), (7)

или соответствующий экспоненциальный базис в комплексной форме:

exp(-j 2nax). (8)

В этом случае спектр коэффициентов Ca является спектром в его обычном физическом смысле как совокупности амплитуд некоторого набора частот ограниченного диапазона и определенного частотного разрешения. Поскольку в этом случае базис уже выбран, то возможности сжатия теперь связаны только с характером исходной информации. Если она адекватна по характеру выбранному базису (8), т.е. состоит из линейной комбинации конечного числа периодических функций, то спектр будет содержать лишь конечное число отличных от нуля коэффициентов, и возникает возможность сжатия информации.

3. Система функций Уолша-Пэли

Если же исходная информация имеет другой характер, например, изменяется по степенному, показательному или логарифмическому закону, то в спектре все его коэффициенты не являются достаточно малыми, и сжатие либо невозможно, либо степень сжатия мала. В этих случаях разумно использовать другой функциональный базис. Поскольку для других базисов нет отчетливого физического представления спектра, то можно интерпретировать (2) как формулы перехода от координатной системы Xk к другой координатной системе Фа(Х). Равенство нулю части коэффициентов означает, что вектор, заданный координатами в виде исходного ряда чисел, в новой системе координат располагается в координатной гиперплоскости размерности N-n. Среди существующих возможностей имеются несколько базисов, порождаемых функциями Радемахера при Z е (0,1):

R0(z) = 1, Rk(z) = sign (sin (2k nz)), k = 1,2,..., (9)

которые в соответствии с входящей в них функцией sign() принимают только два значения: +1 или -1.

Система функций (9) ортогональная и нормированная, но не является полной. К ней можно добавить функции вида sign(cos2knz), которые также ортогональны к функциям системы (9). Поэтому на базе представлений (9) формируют иные полные системы, используя произведения функций Радемахера и внося в получаемые таким образом новые функции определенное упорядочивание.

Наиболее интересной для навигационных применений в плане сжатия информации является система функций Уолша-Пэли. Образование этой системы тесно связано с двоичными номерами составляющих ее функций. Конкретно, функция Уолша-Пэли с номером а есть произведение функций Радемахера с номерами тех двоичных разрядов а, в которых расположены 1. Если записать номер а в двоичном представлении с n = log N разрядами

а = Zk 2k-1 ak, (10)

то функции системы Уолша-Пэли можно представить так:

Wa(z) = Пк М. Сам номер } можно представлять подобно (12) в двоичной форме:

} = Ек 2к-1]к. (15)

Тогда система функций Уолша-Пэли окончательно представится в виде

ЯГа}/Щ = WJ {а/К) = (-1)"как1""к + \ (16)

который используется во всех последующих вычислениях. Программная функция WolshPaly() на языке Паскаль для генерации функций Уолша-Пэли с помощью формул (16) приведена ниже. Для N = 8 значения функций Уолша-Пэли №(/) даны в табл. 1.

Таблица 1. Значения функций Уолша-Пэли для N = 8

] 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 1 1 1 1 1 1 1

Не обсуждая детали, просто упомянем о существовании систем функций Адамара и Хармута, которые отличаются от подробно рассмотренной системы функций Уолша-Пэли только способом упорядочивания одних и тех же функций. Именно порядок функций Уолша-Пэли обеспечивает наибольшее число финальных коэффициентов спектра, нулевых или близких к нулю в заданной степени.

4. Сходимость рядов Уолша-Пэли

Функции Уолша обладают рядом полезных свойств, среди которых приведем используемое в вычислениях свойство симметрии:

Щ (а/Щ. (17)

Двоичное представление номеров функций Уолша с п = logN разрядами определяет порядок р и ранг г функции. Порядком называется наибольший номер двоичного разряда, который равен 1. Рангом Я функции называется число ненулевых двоичных разрядов, например, функция Уолша с номером а = 9 для N = 16 и п = 4 представляется в двоичной форме как 1001, и, следовательно, ее ранг г = 2 (два

ненулевых разряда) и порядок р = 3 (старший ненулевой разряд - третий, т. к. счет идет от нуля). Если функция с номером а имеет ранг г, то ее номер можно представить в виде:

а (Я = г) = 2М1 + 21"2 + ... + 2Мг, (18)

где цк (к = 1, 2,..., г) - номера ненулевых разрядов двоичного представления номера а. Например, номер 9 можно представить как 23 + 20, учитывая двоичное представление 1001. Непосредственно для проблемы сжатия исходной информации важна скорость убывания коэффициентов Са разложения в базисе Уолша при росте номера а. Если функция, представляемая рядом (1), обладает непрерывной производной до даго порядка, и максимальное значение модуля производной |А"(т)| есть М, то коэффициенты спектра с номерами а, ранг которых не меньше порядка производной (г > да), удовлетворяет неравенству (Проектирование специализированных..., 1984):

| Са(г>ш) | < М/ 2ш(ш+3)/2. (19)

Именно это важное неравенство гарантирует быструю сходимость спектральных коэффициентов Са с ростом номера а и открывает перспективы сжатия табличной информации. Действительно, ранг г функции Уолша увеличивается с ростом номера функции а так, что условие г > ш выполняется для больших номеров а. Это значит, что оценка (19) действует для финальных коэффициентов разложения.

Таблица 2. Коэффициенты спектрального разложения степенных функций в базисе Уолша

ПОРЯДОК РАНГ СТЕПЕНЬ ФУНКЦИИ

0 0 4.68 3.03 2.20 1.37

1 0 -2.50 -2.34 -1.96 -1.34

2 1 -1.25 -1.17 -1.10 -0.95

3 1 0 0.63 0.88 0.92

4 2 -0.63 -0.59 -0.56 -0.52

5 2 0 0.31 0.44 0.49

6 2 0 0.16 0.22 0.31

7 3 0 0 -0.12 -0.29

8 3 -0.31 -0.29 -0.28 -0.26

9 3 0 0.16 0.22 0.25

10 3 0 0.08 0.11 0.15

11 3 0 0 -0.06 -0.15

12 3 0 0.04 0.05 0.08

13 3 0 0 -0.03 -0.07

14 3 0 0 -0.01 -0.04

15 3 0 0 0 -0.03

од % 43.8 18.8 6.3 0

Если к тому же функция имеет конечное число отличных от нуля производных (например, степенная функция), то все коэффициенты с номерами, чьи ранги больше этой степени, тождественно равны нулю. Но для этого необходимо, чтобы число N было достаточно велико, и ранг "успел" стать больше номера старшей производной. В качестве примера рассмотрим спектральное разложение степенной функции, представленной рядом (1), с числом отсчетов, равным 16 ^ = 16, п = 4). Малое число отсчетов выбрано только для обозримости результатов примера. Выше в табл. 2 приведены с округлением до двух знаков спектральные коэффициенты разложения для различных степенных функций: линейной, квадратической, кубической и пятой степени - с одновременным указанием номера а спектра и его ранга г.

На этом примере видно, что чем меньше степень функции, которая порождает ряд чисел (1), тем большей степени сжатия од можно достичь при разложении. Если ряд короткий, а степень велика, то сжатие вообще не достигается, как это происходит при пятой степени функции. Если при той же степени функции увеличивать число членов ряда и, следовательно, число коэффициентов спектра, то степень

сжатия растет. Так, при N = 64 sq = 7.8 %, при N = 128 sq = 18.0 %, при N = 256 sq = 23.8 %.

Заметим попутно, что в случае спектра Фурье ни в одном из приведенных случаев никакого сжатия не достигается - налицо неадекватность тригонометрического базиса степенным функциям.

4. Основные формулы дискретного преобразования Уолша-Пэли

Обычно говорится о представлениях заданной функции в выбранном базисе, но, работая с дискретным спектральным преобразованием, мы имеем дело с набором ее дискретных значений. Эти дискретные значения представлены рядом чисел (1).

Итак, мы выберем в качестве функционального базиса систему функций Уолша-Пэли (16) и приведем для этой системы основные формулы, выражающие свойства ортогональности и нормировки функций в этой системе, и формулы преобразования для нее:

Формула прямого дискретного преобразования Уолша для получения спектра

Са = (1/N) ZkXkWa(k/N).

Формула обратного дискретного преобразования Уолша для восстановления исходного ряда значений

Xk = EaCaWa (k/N).

Условие ортогональности и нормировки функций Уолша на дискретном множестве точек

No = (1/N)Zk Wp(k/N) W(k/N) = 0, если p Ф q и No = 1, если p = q. Равенство Парсеваля

(1/N) ZkXk2= ЪаСа,

которое представляет собой равенство квадрата модуля вектора в исходной Xk и новой Са системах координат.

5. Элементы программной реализации

Именно этот набор формул был положен автором в основу при составлении программы на языке Паскаль для сравнительного анализа результатов дискретных преобразований Фурье и Уолша (свидетельство на программный продукт РОСАПО № 950347 от 02.10.1995). При этом дискретные преобразования были реализованы как быстрые преобразования Фурье (БПФ) и Уолша (БПУ) с основанием 2 и прореживанием по времени (Рабиндер, Голд, 1978). Это не имеет значения для сжатия табличной информации, так как преобразование в этом случае производится один раз, но очень важно при обработке информации в реальном масштабе времени для возможности прогонки большего числа различных числовых рядов (таблиц, функций) за минимальное время. Подобная программа практически без изменений была с успехом применена при оперативном спектральном анализе на борту летающей лаборатории ИЛ18-ДОРР ПИНРО. Два основных фрагмента этой программы приведены ниже. Это процедура быстрого преобразования Уолша и функция вычисления значения функции Уолша по заданному номеру и аргументу. Вся программа занимает слишком много места и потому здесь не приводится.

Function WolshPaly(Alf, l: integer) : integer; var J, K, x, y, w, maskl, mask2: integer; begin

w:=l; mask1:=l; mask2:=N div 2; for K:=0 to N-l do begin

if (Alf and mask2)<>0 and (I and mask1)<>0 then w:=-w; mask1:=mask1*2; mask2:=mask2 div 2; end;

WolshPaly:=w; end;

Эта функция принимает два параметра - номер Alf и аргумент I функции Уолша и возвращает само значение функции Уолша.

Procedure FastWolshTrans(var ml, m2, m3, m4: masdat); var L, LE, LE1, I, J, IP: integer; T1,T2: real;

begin LE:=1; for L:=1 to M do begin LE1:=LE; LE:=LE*2;

for J:=1 to LE1 do begin I:=J; repeat IP:=I+LEl; T1:=m1; T2:=m2;

If L=M then begin

m3:=m1[I]-T1; m4:=m2[I]-T2; m3[I]:=m1[I]+T1; m4[I]:=m2[I]+T2;

m1:=m1[I]-T1; m2:=m2[I]-T2; m1[I]:= m1[I]+T1; m2[I]:=m2[I]+T2;

I:=I+LE; until I>N; end; end;

/* "D" - знак прямого преобразования */

if TIP="D" then begin for L:=1 to N do begin m3[L]:=m3[L]/N; m4[L]:=m4[L]/N; end;

Процедура производит быстрое преобразование Уолша данных, которые передаются процедуре в массивах ml и m2. Результат преобразования - спектр Уолша возвращается процедурой в массивах m3 и m4. Если данные передаются процедуре в обычном порядке следования, то результат возвращается в двоично-инвертированном порядке. Если же мы хотим получить обычный порядок коэффициентов спектра, то исходные данные для обработки следует двоично инвертировать. Двоичным инвертированием номера считается номер, в котором порядок его двоичных разрядов изменен на обратный, например, инверсия числа 6 = 110 есть 3 = 011. Для инверсии любых номеров предлагается процедура на языке Pascal:

Procedure MASINVERSION(sw: integer; var m1, m2: masdat); var I, J, K, NV2: integer; T: real; begin NV2:=N div 2;

for I:=1 to N-1 do begin

if I

else begin K:=NV2; while K

6. Сжатие таблиц с двумя аргументами

Выше были рассмотрены преобразования и сжатие одномерных, линейных таблиц. Но большинство применяемых в судовождении таблиц являются двумерными - прямоугольными матрицами. Вопрос об их сжатии можно решить двумя путями. Первый путь - преобразование таблицы как линейной, считая, что она образована последовательным размещением строк таблицы-матрицы, начиная с первой строки. Этот путь вполне обычен, ведь именно так хранится двумерный массив в линейно организованной памяти ЭВМ. Преимущество такого способа состоит в том, что размер такой линейной таблицы будет достаточно большим, и можно надеяться на эффективность сжатия. Но в нем скрыты и возможные неприятности. После выстраивания в линию строк матрицы мы наверняка получим скачки функции при переходе от конца одной строки к началу следующей. Эту трудность можно обойти изменением порядка элементов в каждой четной строке - инвертированием этой строки. Соответственно, изменится и порядок спектральных коэффициентов. Но это не усложнит, а только изменит порядок номеров при восстановлении значений самой функции. Так, если номер значения восстанавливаемой функции был Npq = (р - 1) М + q, где р - номер строки с числом М элементов в ней, а q - номер столбца, то после инвертирования для четных строк этот номер станет равным (р - 1) М + (М- q + 1).

Второй путь - сначала спектральное преобразование строк таблицы, а затем преобразование полученного промежуточного спектра по столбцам. Недостатком этого способа можно считать малую степень сжатия из-за малой длины строк и столбцов. Правда, эффект сжатия усиливается за счет двойного преобразования и строк, и столбцов. Например, при сжатии строк и столбцов всего на 10 % общий эффект сжатия будет равен 1 - 0.9x0.9 = 0.19 = 19 %. Если, например, строки таблицы изменяются по квадратическому закону, а столбцы по кубическому, то общий эффект сжатия по данным табл. 2 равен 1-(1-0.188)х(1-0.63) = 0.24 = 24 %.

В качестве конкретного примера приведем результаты преобразования таблицы интегральной функции Лапласа (Кондрашихин, 1969), которую применяют в судовождении при оценке надежности мореплавания. Здесь она представлена в виде матрицы 30x10, т.е. состоит из 30 строк и 10 столбцов. Преобразовывать ее как двумерную нет никакого смысла: слишком мало (10) элементов в строках. Поэтому преобразуем ее как линейную таблицу из 300 значений. В примере будем считать, что значений 256 = 28. Но можно было бы дополнить таблицу нулями и считать число значений 512 = 29. Ив том, и в другом случаях получен одинаковый результат: финальное число нулей с степенью близости к нулю порядка 0.01 % от максимального коэффициента составляет 46.5 %. Восстановление функции по сжатой до 53.5 % совокупности коэффициентов спектра дало погрешности: среднюю квадратическую в 0.005 и максимальную в 0.057. Пример показывает эффективность проведенного преобразования таблицы.

7. Заключение

Проведенные исследования, связанные с выбором функционального базиса Уолша-Пэли, показывают, что этот функциональный базис может успешно применяться в различных системах обработки информации, не носящей выраженного периодического характера. В этом случае преимущества такого функционального базиса перед базисом Фурье очевидны. Кроме того, базис Уолша-Пэли дает хороший эффект при сжатии информации. Это показано на примере характерной для задач надежности навигации таблицы интегральной функции Лапласа, где эффект сжатия достиг 53.5 %.

Литература

Голд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М., Сов.радио, 367 е., 1993. Кондрашихин В.Т. Теория ошибок. М., Транспорт, 256 е., 1969.

Проектирование специализированных информационно-вычислительных систем. Под ред.

Смирнова Ю.Н. М., Высшая школа, 359 е., 1984. Рабиндер Л., Голд Б. Теория и приложения цифровой обработки сигналов. М., Мир, 528 е., 1978. Трахтман А.Н., Трахтман В.А. Введение в общую спектральную теорию сигналов. М., Сов.радио, 312 е., 1978.

Функциями Уолша называется семейство функций, образующих ортогональную систему , принимающих значения только 1 и -1 на всей области определения.

В принципе, функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из $2^n$ элементов. Группа из $2^n$ функций Уолша образует матрицу Адамара .

Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, где с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS .

Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье .

Обобщением функций Уолша на случай более чем двух значений являются функции функции Виленкина - Крестенсона .

Обозначение

Пусть функция Уолша определена на интервале ; за пределами этого интервала функция периодически повторяется. Введём безразмерное время $\backslash theta\; =\; t\; /\; T$. Тогда функция Уолша под номером k обозначается как $wal(k,\backslash theta)$. Нумерация функций зависит от метода упорядочения функций. Существует упорядочение по Уолшу - в этом случае функции обозначаются так, как описано выше. Также распространены упорядочения по Пэли ($pal(p,\backslash theta)$) и по Адамару ($had(h,\backslash theta)$).

Относительно момента $\backslash theta\; =\; 0$ функции Уолша можно разделить на чётные и нечётные. Они обозначаются как $cal(k,\backslash theta)$ и $sal(k,\backslash theta)$ соответственно. Эти функции аналогичны тригонометрическим синусам и косинусам. Связь между этими функциями выражается следующим образом:

$cal(k,\backslash theta)\; =\; wal(2k,\backslash theta)$ $sal(k,\backslash theta)\; =\; wal(2k-1,\backslash theta)$

Формирование

Существует несколько способов формирования. Рассмотрим один из них, наиболее наглядный: Матрица Адамара может быть сформирована рекурсивным методом с помощью построения блочных матриц по следующей общей формуле:

$H\_\{2^n\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$

H_{2^{n-1}} & H_{2^{n-1}} \\ H_{2^{n-1}} & -H_{2^{n-1}} \end{bmatrix}

Так может быть сформирована матрица Адамара длины $2^n$:

$H\_1\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$

1 \end{bmatrix}

$H\_2\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$

1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

$H\_4\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$

1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}

Каждая строка Матрицы Адамара и является функцией Уолша.

В данном случае функции упорядочены по Адамару. Номер функции по Уолшу вычисляется из номера функции по Адамару путём перестановки бит в двоичной записи номера в обратном порядке с последующим преобразованием результата из кода Грея .

Пример

В итоге получается матрица Уолша, в которой функции упорядочены по Уолшу:

$W\_4\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$

1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}

Свойства

1. Ортогональность

Напишите отзыв о статье "Функция Уолша"

Литература

• Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.:Высшая школа, 2005 - ISBN 5-06-003843-2
• Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша: теория и применения. - М.:Наука, 1987
• Залманзон Л. А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. - М.: Наука, 1989 - ISBN 5-02-014094-5

См. также

Примечания

Отрывок, характеризующий Функция Уолша

– Видно, еще не все ушли, князь, – сказал Багратион. – До завтрашнего утра, завтра всё узнаем.
– На горе пикет, ваше сиятельство, всё там же, где был с вечера, – доложил Ростов, нагибаясь вперед, держа руку у козырька и не в силах удержать улыбку веселья, вызванного в нем его поездкой и, главное, звуками пуль.
– Хорошо, хорошо, – сказал Багратион, – благодарю вас, г. офицер.
– Ваше сиятельство, – сказал Ростов, – позвольте вас просить.
– Что такое?
– Завтра эскадрон наш назначен в резервы; позвольте вас просить прикомандировать меня к 1 му эскадрону.
– Как фамилия?
– Граф Ростов.
– А, хорошо. Оставайся при мне ординарцем.
– Ильи Андреича сын? – сказал Долгоруков.
Но Ростов не отвечал ему.
– Так я буду надеяться, ваше сиятельство.
– Я прикажу.
«Завтра, очень может быть, пошлют с каким нибудь приказанием к государю, – подумал он. – Слава Богу».

Крики и огни в неприятельской армии происходили оттого, что в то время, как по войскам читали приказ Наполеона, сам император верхом объезжал свои бивуаки. Солдаты, увидав императора, зажигали пуки соломы и с криками: vive l"empereur! бежали за ним. Приказ Наполеона был следующий:
«Солдаты! Русская армия выходит против вас, чтобы отмстить за австрийскую, ульмскую армию. Это те же баталионы, которые вы разбили при Голлабрунне и которые вы с тех пор преследовали постоянно до этого места. Позиции, которые мы занимаем, – могущественны, и пока они будут итти, чтоб обойти меня справа, они выставят мне фланг! Солдаты! Я сам буду руководить вашими баталионами. Я буду держаться далеко от огня, если вы, с вашей обычной храбростью, внесете в ряды неприятельские беспорядок и смятение; но если победа будет хоть одну минуту сомнительна, вы увидите вашего императора, подвергающегося первым ударам неприятеля, потому что не может быть колебания в победе, особенно в тот день, в который идет речь о чести французской пехоты, которая так необходима для чести своей нации.
Под предлогом увода раненых не расстроивать ряда! Каждый да будет вполне проникнут мыслию, что надо победить этих наемников Англии, воодушевленных такою ненавистью против нашей нации. Эта победа окончит наш поход, и мы можем возвратиться на зимние квартиры, где застанут нас новые французские войска, которые формируются во Франции; и тогда мир, который я заключу, будет достоин моего народа, вас и меня.
Наполеон».

В 5 часов утра еще было совсем темно. Войска центра, резервов и правый фланг Багратиона стояли еще неподвижно; но на левом фланге колонны пехоты, кавалерии и артиллерии, долженствовавшие первые спуститься с высот, для того чтобы атаковать французский правый фланг и отбросить его, по диспозиции, в Богемские горы, уже зашевелились и начали подниматься с своих ночлегов. Дым от костров, в которые бросали всё лишнее, ел глаза. Было холодно и темно. Офицеры торопливо пили чай и завтракали, солдаты пережевывали сухари, отбивали ногами дробь, согреваясь, и стекались против огней, бросая в дрова остатки балаганов, стулья, столы, колеса, кадушки, всё лишнее, что нельзя было увезти с собою. Австрийские колонновожатые сновали между русскими войсками и служили предвестниками выступления. Как только показывался австрийский офицер около стоянки полкового командира, полк начинал шевелиться: солдаты сбегались от костров, прятали в голенища трубочки, мешочки в повозки, разбирали ружья и строились. Офицеры застегивались, надевали шпаги и ранцы и, покрикивая, обходили ряды; обозные и денщики запрягали, укладывали и увязывали повозки. Адъютанты, батальонные и полковые командиры садились верхами, крестились, отдавали последние приказания, наставления и поручения остающимся обозным, и звучал однообразный топот тысячей ног. Колонны двигались, не зная куда и не видя от окружавших людей, от дыма и от усиливающегося тумана ни той местности, из которой они выходили, ни той, в которую они вступали.
Солдат в движении так же окружен, ограничен и влеком своим полком, как моряк кораблем, на котором он находится. Как бы далеко он ни прошел, в какие бы странные, неведомые и опасные широты ни вступил он, вокруг него – как для моряка всегда и везде те же палубы, мачты, канаты своего корабля – всегда и везде те же товарищи, те же ряды, тот же фельдфебель Иван Митрич, та же ротная собака Жучка, то же начальство. Солдат редко желает знать те широты, в которых находится весь корабль его; но в день сражения, Бог знает как и откуда, в нравственном мире войска слышится одна для всех строгая нота, которая звучит приближением чего то решительного и торжественного и вызывает их на несвойственное им любопытство. Солдаты в дни сражений возбужденно стараются выйти из интересов своего полка, прислушиваются, приглядываются и жадно расспрашивают о том, что делается вокруг них.
Туман стал так силен, что, несмотря на то, что рассветало, не видно было в десяти шагах перед собою. Кусты казались громадными деревьями, ровные места – обрывами и скатами. Везде, со всех сторон, можно было столкнуться с невидимым в десяти шагах неприятелем. Но долго шли колонны всё в том же тумане, спускаясь и поднимаясь на горы, минуя сады и ограды, по новой, непонятной местности, нигде не сталкиваясь с неприятелем. Напротив того, то впереди, то сзади, со всех сторон, солдаты узнавали, что идут по тому же направлению наши русские колонны. Каждому солдату приятно становилось на душе оттого, что он знал, что туда же, куда он идет, то есть неизвестно куда, идет еще много, много наших.
– Ишь ты, и курские прошли, – говорили в рядах.
– Страсть, братец ты мой, что войски нашей собралось! Вечор посмотрел, как огни разложили, конца краю не видать. Москва, – одно слово!
Хотя никто из колонных начальников не подъезжал к рядам и не говорил с солдатами (колонные начальники, как мы видели на военном совете, были не в духе и недовольны предпринимаемым делом и потому только исполняли приказания и не заботились о том, чтобы повеселить солдат), несмотря на то, солдаты шли весело, как и всегда, идя в дело, в особенности в наступательное. Но, пройдя около часу всё в густом тумане, большая часть войска должна была остановиться, и по рядам пронеслось неприятное сознание совершающегося беспорядка и бестолковщины. Каким образом передается это сознание, – весьма трудно определить; но несомненно то, что оно передается необыкновенно верно и быстро разливается, незаметно и неудержимо, как вода по лощине. Ежели бы русское войско было одно, без союзников, то, может быть, еще прошло бы много времени, пока это сознание беспорядка сделалось бы общею уверенностью; но теперь, с особенным удовольствием и естественностью относя причину беспорядков к бестолковым немцам, все убедились в том, что происходит вредная путаница, которую наделали колбасники.

Функциями Уолша называется семейство функций, образующих ортогональную систему, принимающих значения только 1 и -1 на всей области определения.

В принципе, функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из 2^n {\displaystyle 2^{n}}22цув элементов. Группа из {\displaystyle 2^{n}}2^n функций Уолша образует матрицу Адамара.

Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, где с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS.

Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье.

Обобщением функций Уолша на случай более чем двух значений являются функции функции Виленкина - Крестенсона.

М-последовательности. Способ формирования и свойства М-последовательностей. Применение М-последовательностей в системах связи

В настоящее время среди бинарных кодовых последовательностей большой длины наибольшее распространение получили М-последовательности, последовательности Лежандра, кодовые последовательности Голда и Кассами, кодовые последовательности Уолша, нелинейные кодовые последовательностей.

Преимущества М-последовательностей большой длины заключается в уменьшении уровня периодических боковых лепестков функции неопределенности М- последовательностей с ростом ее длины L . Максимальный уровень периодического бокового лепестка ВКФ М-последовательности обратно пропорционален длине последовательности (1/L).

M-последовательности

Выше было упомянуто, что оптимальными для расширения спектра сигнала являются последовательности максимальной длины или М-последовательностями. Такие последовательности формируются с помощью цифровых автоматов, основным элементом которых является сдвигающий регистр с ячейками памяти Т1 , Т2 , …, Т k (рисунок 2).

Рисунок 2 – Цифровой автомат формирования М-последовательности

Тактовые импульсы поступают на все ячейки одновременно с периодом , передвигая за один такт хранящиеся в этих ячейках символы в соседние справа ячейки. Обозначим буквами символы, хранящиеся в соответствующих ячейках на -ом такте. - символ на входе первой ячейки; значение этого символа формируется с помощью линейного рекуррентного соотношения

В соответствии с значение символа в ячейке с номером умножается на коэффициент и складывается с остальными аналогичными произведениями. Как символы , так и коэффициенты могут иметь значения 0 или 1; операции суммирования при этом выполняются по модулю 2. Если коэффициент , то символ ячейки в формировании значения суммы не участвует.

Если принять содержание ячеек регистра сдвига за исходное состояние, то через тактов это состояние вновь будет иметь место. Если при этом регистрировать последовательность символов -той ячейки, то длина этой последовательности будет равна . На последующих тактах эта последовательность вновь повторится и т.д. Число называется периодом последовательности. Значение при фиксированной длине регистра сдвига зависит от числа и расположения отводов. Для каждого значения можно указать число отводов и их положения, при которых период получаемой последовательности оказывается максимальным. В качестве исходного можно взять любое состояние регистра сдвига (кроме нулевой комбинации); изменение исходного состояния вызовет лишь сдвиг последовательности. Последовательности с максимально возможным периодом при фиксированной длине регистра называются М-последовательностями. Их период (длина) .

Структурную схему автомата, формирующего М-последовательности, принято задавать характеристическим многочленом:

в котором всегда , . В табл. 1 для указаны наборы значений коэффициентов этого полинома, определяющих последовательности максимальной длины. Знание вектора позволяет однозначно указать структуру цифрового автомата, формирующего соответствующую полиному (1.16) М-последовательность:

– если , то выход ячейки с номером регистра сдвига подключен к сумматору по модулю 2;

– если , то выход ячейки с номером регистра сдвига не подключен к сумматору по модулю 2. (длинный код для скремблирования и идентификации подвижных станций)